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大学物理第七章练习
第七章 真空中的静电场
7-1 在边长为a的正方形的四角,依次放置点电荷q,2q,-4q和2q,它的几何中心放置一个单位正电荷,求这个电荷受力的大小和方向。
解:如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力
将相互抵消,单位正电荷所受的力为
=方向由q指向-4q。
7-2 如图,均匀带电细棒,长为L,电荷线密度为λ。(1)求棒的延长线上任一点P的场强;(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。
解:(1)如图7-2 图a,在细棒上任取电荷元dq,建立如图坐标,dq=?dx,设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为r,则
则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为
=方向沿x轴正向。
(2)如图7-2 图b,设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y
,
因,
代入上式,则
=,方向沿x轴负向。
=
7-3 一细棒弯成半径为R的半圆形,均匀分布有电荷q,求半圆中心O处的场强。
解:如图,在半环上任取dl=Rd?的线元,其上所带的电荷为dq=?Rd?。对称分析Ey=0。
,如图,方向沿x轴正向。
7-4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2λ2的带电线上任取一dq,λ1的带电线是无限长,它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为,
两线间的相互作用力为
如图,方向沿x轴正向。
7-5 两个点电荷所带电荷之和为Q,问它们各带电荷多少时,相互作用力最大?
解:设其中一个电荷的带电量是q,另一个即为Q-q,若它们间的距离为r,它们间的相互作用力为
相互作用力最大的条件为
由上式可得:Q=2q,q=Q/2
7-6 一半径为R的半球壳,均匀带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处电场强度的大小。
解:将半球壳细割为诸多细环带,其上带电量为
dq在o点产生的电场据(7-10)式为
,
。如图,方向沿y轴负向。
7-7 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行,计算通过此半球面电场强度的通量。
解:如图,设作一圆平面S1盖住半球面S2,
成为闭合曲面高斯,对此高斯曲面电通量为0,
即
7-8 求半径为R,带电量为q的空心球面的电场强度分布。
解: 由于电荷分布具有球对称性,因而它所产生的电场分布也具有球对称性,与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等,方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2,应用高斯定理,即先计算场强的通量,然后得出场强的分布,分别为
得 (rR)
(rR)
7-9 如图所示,厚度为d的“无限大”均匀带电平板,体电荷密度为ρ,求板内外的电场分布。
解:带电平板均匀带电,在厚度为d/2的平分界面上电场强度为零,取坐标原点在此界面上,建立如图坐标。对底面积为A,高度分别为xd/2和xd/2的高斯曲面应用高斯定理,有
得
7-10 一半径为R的无限长带电圆柱,其体电荷密度为,ρ0为常数。求场强分布。
解: 据高斯定理
时:
时:
(2)
(3)再把内球接地,内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡,内球带q/,球壳内表面带-q/,外表面带q/-q。
得:
7-12 一均匀、半径为R的带电球体中,存在一个球形空腔,空腔的半径r(2rR),试证明球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场,其方向沿带电球体球心O指向球形空腔球心O/。
证明:利用补缺法,此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R 的大球和一个半径为r 与大球电荷密度异号完整的小球组成,两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7-7〕结果为
,
E=E1+E2=
上式是恒矢量,得证。
7-13 一均匀带电的平面圆环,内、外半径分别为R1、R2,且电荷面密度为σ。一质子被加速器加速后,自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心O。若质子到达O点时的速度恰好为零,试求质子位于P点时的动能EK。(已知质子的带电量为e,忽略重力的影响,OP=L)
解:圆环中心的电势为
圆环轴线上p点的电势为
质子到达O点时的速度恰好为零有
=
7-14 有一半径为R的带电球面,带电量为Q,球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线,线电荷密度为λ,长度为L(LR),细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定,试求细线在电场中的电势能。
解:在带电细线中任取一长度为dr的线元,其上所带的电荷元为dq=?dr,据(7-23)式带电球面在电荷元处产生的电势为
电荷元的电势能为:
细线在带电球面的电场中的电势能为:
*7-15 半径为R的均匀带电圆盘,带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为L。试求P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。
解:P到盘心的距离为L,p点的电势为
圆盘轴线上任意点的
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