大学物理第7章题解.doc

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大学物理第7章题解

第七章 机械振动 7-1.两根轻弹簧与物体的连接方式如图(a)、(b)所示,物体质量为,弹簧劲度系数为和,水平面光滑.求这两种情况下振动的固有频率. 解 (a)以物体的平衡位置为原点,建立坐标轴水平向右.设位于时,两弹簧分别伸长和,则.因两弹簧弹性力相等,所以物体所受合力.设由两弹簧组合而成的“组合弹簧”的劲度系数为,于是 由此求得“组合弹簧”的劲度系数为常量,可见物体所受合力为线性回复力,所以系统作简谐振动,振动的固有频率 (b)以物体的平衡位置为原点,建立坐标轴水平向右.位于时,弹簧1被拉长,弹簧2被压缩,所受合力 由此求得“组合弹簧”的劲度系数为常量,可见物体所受合力为线性回复力,所以系统作简谐振动,振动的固有频率 7-2.如图所示,半径为的光滑圆弧轨道在竖直平面内,为其圆心.一质点质量为,在圆弧轨道最低点附近往复运动.试证明质点作简谐运动,并求振动的周期. 解建立坐标系正向如图由牛二定律横向的运动微分方程 当时,上式化为 可见质点作简谐运动,且知,所以振动的周期 7-3.弹簧振子的质点质量为,其运动学方程为. 求:(1)振幅和周期;(2)质点的初始位置;(3)质点位于初始位置时所受合力;(4)质点在时的位置、速度和加速度. 解 (1)由运动学方程可见,振幅,周期 (2)由运动学方程可见,时. (3)对运动学方程求时间导数可得 时 (4)把代入运动学方程和(3)中求得的、表达式,即可求得质点在时的位置、速度和加速度分别为 7-4.一质点作简谐振动,振幅为,速度幅为,取速度为正最大值时为计时起点.求:(1)周期;(2)加速度幅;(3)运动学方程. 解设运动学方程为则 (1)由,可知,所以周期为 (2) (3)由已知条件时,可知、,即 , 由以上二式求出,所以运动学方程为. 7-5.如图所示为两个振幅和频率均相同的简谐振动的振动曲线.求两个简谐振动的运动学方程,并求出哪个简谐振动相位超前,超前多少? 解图可见,,.所以. 对振动(1)而言 当时 所以,运动学方程为. 对振动(2)而言.当时 , 所以,运动学方程为. 这两个简谐振动的相位差,说明振动(1)比振动(2)超前7-6.一水平放置的弹簧振子,质点质量为,作简谐振动,振幅为,质点运动的最大加速度为.求:(1)系统的机械能;(2)质点通过平衡位置时的动能;(3)以时为计时起点,系统动能与势能相等的时刻. 解和,可以求出. 由,可知. (1)系统的机械能 (2)通过平衡位置时,所以动能. (3)由已知条件时,可知 , 由以上二式求出.于是 动能与势能相等的时刻,,即 可求出 , 所以,. 7-7.有两个同方向同频率的简谐振动,它们的运动学方程分别为和(国际制单位).求:(1)合振动的振幅和初相位;(2)若另有一振动,为何值的振幅最大?为何值的振幅最小? 解1)分别作与时刻的和对应的旋转矢量和,如图所以.由旋转矢量图可见合矢量的长度为,与轴夹角为.于是可知合振动的振幅,初相位. (2)和同相,即时,的振幅最大;和反相,即时,的振幅最小. 7-8.有两个同方向同频率的简谐振动,其合振动的振幅为,合振动与第一个分振动的相位差为,已知第一个分振动的振幅为.求第二个分振动的振幅及两个分振动的相位差. 解. 由图可见,两个分振动的相位差. 7-9.某阻尼振动(弱阻尼状态)的振幅经一“周期”后变为原来的,求振动的“周期”为振动系统固有周期的几倍. 解弱阻尼振动由题意 所以 根据,可知 于是 7-10.质量为的质点,挂在劲度系数的弹簧下端,沿轴运动.质点除线性恢复力外,还受策动力和阻力作用.求当阻力系数增为原来的倍时,质点稳态振幅减为原来的几分之几? 解根据已知条件,.故弱阻尼振动 由于和,所以 当,因此当阻力系数增为原来的倍时,质点稳态振幅减为原来的三分之一. (第七章题解结束) 4

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