大学物理静电场练习题和答案.doc

练习题 7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大? 解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q，则另一个点电荷带电， 两点电荷之间的库仑力为 由极值条件，得 又因为 0 这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大。 7-2 两个相同的小球，质量都是m，带等值同号的电荷q，各用长为l的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立： 式中x为两球平衡时的距离。 (2)如果l= 1.20 m，m=10 g，x=5.0 cm，则每个小球上的电荷量q是多少? (3)如果每个球以的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少? 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有 由此二式可得 因为很小，可有，再考虑到 可解得 （2）由上式解出 由于 带入数据解得 合力的大小为 令，即有 由此解得粒子受力最大的位置为 7-4 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。图7-45所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的和均为已知，对图7-44中的点(平行于正方形的一边)，证明当x ? l时 其中，p=ql 称电偶极矩。 解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题7-3可知 其中，p=ql。 点处的合场强为 由于 x ? l 上式可简化为 证毕。 7-5 如图7-46所示，长为l的细直线OA带电线密度为，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度： (1)为常量，且0；(2) =kx，k为大于零的常量，(0≤x≤1)。 图7-46 练习题7-5用图 解：(1)将带电直线分割成无数个长度元dx，dx的坐标是x。它所带的电荷元dq=dx，dq在P点产生的电场强度的大小为 因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加。于是带电直线在P点产生的电场强度为 方向沿x轴的负方向。 (2) 同样取电荷微元dq=dx=kxdx 同理 方向沿x轴的负方向。 7-6 一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度。 解：分析在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线．在弧线上取线元dl，其电荷，此电荷元可视为点电荷，它在O点的电场强度为 因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有 点O的合电场强度为 习题7-6用图 其中，负号表示场强方向与y方向相反。 将，，带入上式，积分得 负号表示场强方向与y方向相反 7-7 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点的电场强度；（2）当R→∞时，P点的电场强度为多少?（3）当x ? R时，P点的电场强度又为多少? 练习题7-7用图 解：（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环，如图所示。利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为 于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为 当时，R ? x。此时，上式可化为 即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。 （3）当x ? R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为 7-8 图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。设半径为和的球壳上分别带有电荷和，求：（1）I、II 、III三个区域中的场强； （2）若 =－，各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分布曲线 (即－ 关系曲线)。 解：（1）在区域I，做半径为r﹤R1的球形高斯面。因为高斯面内无电荷，根据高斯定理 = 即 可得区域I中的电场强度为 E1= 0 在区域II，以为半径做球形高斯面。因为此高斯面内的电荷为Q1，由高斯定理得