孔凡哲–关于几何直观的含义与表现形式–课程教材教法–2012–07–92–97.doc

关于几何直观的含义与表现形式 ——对数学认识 史宁中2 （1.国家基础教育实验中心;2.东北师范大学教育科学学院，吉林 长春130024） 《课程·教材·教法》2012年第32卷第7期：第92-97页 摘要：几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。几何直观通常是在有背景的条件下进行的。借助几何直观“看”出来的结果，需要经过逻辑推理的验证。几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、显性化，因而，寻找数学对象的直观模型是有效发挥几何直观的重要环节之一。在中小学数学中，几何直观可以体现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观四种表现形式。培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，依托具体的数学课程教学内容，需要具体落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。这种工作以保护学生先天的几何直观的潜质作为起点，以有效提升学生的几何直观（能力）水平作为终点，最终形成针对几何的敏锐洞察力和深厚的数学素养。 关键词：几何直观；含义；表现形式；培养；案例 中图分类号：G633.6 文献标识码：A “注重培养学生的几何直观”是进入新世纪以来数学教育的热点话题之一，2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出了针对“几何直观”的要求，如，“几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质……培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”，而《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《标准》（2011年版））先后多处针对“几何直观”提出明确要求，即“在‘图形与几何’的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力”、“初步形成几何直观和运算能力”、“感受符号和几何直观的作用”、“在设计试题时，应该关注并且体现《标准》的设计思路中提出的几个核心词：数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念”、“特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性”、“利用几何图形研究代数问题。利用直角坐标系，不仅能够推导出几何图形的代数表达式，还能够利用几何图形来研究代数问题，这是帮助学生建立几何直观的有效途径。” 如何理解几何直观？如何结合中小学数学课程教学的典型案例，理解几何直观的具体表现、如何培养几何直观？本文就此阐述自己的理解。 一、几何直观的含义及其表现形式 对于几何直观，《标准》（2011年版）中明确指出，“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题”。严格意义上讲，这是针对几何直观的作用的解释性说明，而不是针对几何直观的含义的诠释，即不是针对“几何直观”的明确定义。 几何直观究竟是什么含义呢？我们认为： 它首先是一种特殊的数学直观。 所谓直观，《辞海》（第六版）的解释是“①即感性认识。其特点是生动性、具体性和直接性；②指旧唯物主义对认识的理解”。《中国大百科》（/default. aspx）的解释是“通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。拉丁文为interi意为凝视。中国按其不同涵义分别译为直观和直觉。直观的字面意义是直接的观察。；而西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为，“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。当代著名数学家徐利治教授提出，“直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。 综上，我们认为，几何直观是指，借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。 与几何直观相比，空间观念（空间想象能力）更倾向于，即使是脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力；而几何直观更强调借助一定的直观背景条件而进行整体把握的能力，虽然空间观念（空间想象能力）有时也需要借助一定的实物（即几何原型）进行想象，但是，许多情况下是在没有背景的条件下进行的，而未必一定借助直观进行感知、把握。与其同时，从对象上来看，空间观念不仅涉及“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”，而且涉及“想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形，而几何直观是凭借图形对几乎所有的数学研究对象进行思考的能力。也就