存在和唯一性定理的证明.docVIP

存在与唯一性定理的证明 定义：设函数在闭区域上有定义，如果存在常数，使对任何均满足不等式，则称在上关于满足条件，称为常数 定理：设在闭矩形域：上连续，且关于满足条件，则初值问题·········① 在区间上有且只有一个解，其中 证明：整个证明过程分成如下五个部分 Ⅰ，首先证明求初值①的解等价于求积分方程··········②的连续解。 事实上，若是初值问题①的解，则有 由此，在上连续，从而可积，于是对恒等式积分并利用初始条件，得到即，是积分方程②的解 反之，设是方程②的连续解，即有恒等式 因为在上连续，故右端是积分上限的可微函数，从而在可微 于是将两边对求导，得恒等式 ，并令得，因此 是初值问题①的解 因此，我们只需证明积分方程②存在唯一定义在区间上的连续解。我们采用的逐次逼近法来证明，基本思路就是在所设条件下构造出一个一致收敛的连续函数序列，它的极限函数恰是积分方程②的唯一解 Ⅱ，用逐次迭代法在区间上构造逐次近似的连续函数序列 ··········③ 当时，注意到是上的连续函数，所以由③知 在上是连续可微的，而且满足不等式于是在区间上 因此，在上是连续的，所以由式③知 在区间上是连续可微的，而且满足于是在区间上 以此类推，应用数学归纳法易证： 由③式给出的所谓序列是区间上的连续函数序列，而且满足不等式 Ⅲ，证明序列在区间上一致收敛 考虑级数 ··········④它的部分和为，于是，要证明序列在区间上一致收敛，只需证明级数④在上一致收敛。为此我们归纳证明不等式： ·······⑤在上成立事实上，当时由知式⑤成立，假设当时⑤式成立，即有在上成立 则由式③知根据条件和归纳假设得 即当时式⑤也成立，因此有数学归纳法知式⑤得证 因当时，，故由式⑤知 因正项级数收敛，故由函数项级数一致收敛的（魏尔斯特拉斯）判别法知级数④在区间上一致收敛从而序列在区间上一致收敛 设其极限函数为，即当时一致的有 则在上是连续的且由推知 Ⅳ，证明是积分方程②的解 在式③两端令得到 因此问题归结为证明 因序列在上一致收敛，则任给，存在自然数，当时，对中所有有 故当时，由条件知 因此式成立 因而当时有，所以是积分方程②的一个连续解 Ⅴ，证明积分方程②的连续解的唯一性 设也是方程②的定义在区间上的连续解，则于是与步骤Ⅲ类似，可归纳证明得在上成立 从而序列在区间上也一致收敛与，因此我们推出 所以，积分方程②的连续解是唯一的。至此，定理得证。 【注】定理中数的几何意义 因为在闭矩形域上有，所以方程的积分曲线上任一点的切线斜率介于与之间。过点分别引斜率为与的直线和：，当时，如图㈠所示；当时，如图㈡所示 显然方程过点的积分曲线(如果存在的话)不可能进入图㈠或㈡所示的两个阴影区域内。若(即)由图㈠可见解在整个区间上有定义；若(即)由㈡可见，不能保证解在上有定义。它可能在或外到达的上边界或下边界，于是，当或时，没有定义。此时，由于点的横坐标分别为及，故可保证解在区间上有定义。综上，只要取，则当时，有，即当时，积分曲线不会跃出闭矩形域