23 微分的概念醚(一) - PowerPoint Presentation.ppt

* * 2.3 微分的概念 一 微分的定义 二 微分的几何意义 微分公式和微分的运算法则 四 微分在近似计算中的应用 一、微分的定义 引例 设有一个边长为 的正方形金属片，受热后它的边 长伸长了 问其面积增加了多少？ 解 设此正方形的边长为x? 面积为y? 则y是x的函数? 受热后边长由 金属薄片的面积改 几何意义： 表示两个长为 宽为 的长方形 表示边长为 的正方形的面积。 面 积 。 变到 变量为 数学意义： 时? 是比 高阶的无穷小? 是 的线性函数?把它叫做 的线性主部? 可以近似地代替 所以 由于 所以上式可以写成 定义 如果 在点 即 具有导数 那么 函数增量 的线性主部 叫做函数 在点 处的微分? 记作 即 函数可微的条件： 在点 可微的充分必要条件 当 是函数f(x)在点 可导? 且当函数f(x)在点 可微时? 其微分一定是 以微分 近似代替函数 增量 的合理性： 当 时? 有 结论： 在 的条件下? 以微分 近似代替增量 时? 其误差 为 o(dy)。 因此? 在 |?x|很小时? 有近似等式 在任意点 的微分? 称为函数的微分? 记作 或 ? 即 例如 例1 求函数 在 和 处的微分。 解 函数 在 处的微分为 函数 在 处的微分为 例2 求函数 当x?2? ?0. 02时的微分。 解 先求函数在任意点x 的微分 再求函数当x?2? ?0. 02时的微分 例3 求函数 的微分 解 例4 求 在 时的增量及微分。 解 自变量的微分： 因为当y=x时? 所以通常把自 变量x的增量 称为自变量的微分? 记作dx? 即dx? 于是函数 的微分又可记作 从而有 商等于该函数的导数? 因此? 导数也叫做“微商”。 这就是说? 函数的微分 与自变量的微分 之 二．微分的几何意义 当 是 上的点的纵坐标的增量时? 就是曲 线的切线上点纵坐标的相应增量? 当 很小时? 比 小得多? 因此在点M的邻近? 我们可以用切线段来近 似代替曲线段。 三．微分公式与微分运算法则 1． 微分公式 导数公式： 微分公式： 2． 函数和、差、积、商的微分法则 求导法则： 微分法则： 3．复合函数的微分法则 设y?f(u)及 都可导? 则复合函数 的微 分为 由于 ? 所以? 复合函数 的 微分公式也可以写成 或 由此可见? 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数? 微分形式 保持不变。 这一性质称为微分形 式不变性? 这性质表示? 当变换自变量时? 微分形式 并不改变。 例5 设 求 解 把 看成中间变量 ? 则 在求复合函数的导数时? 可以不写出中间变量。 例6 求 的微分。 解 例7 设 求 解法一 解法二