D2_3高阶导数绪论.ppt

上节内容小结 第三节 一、高阶导数的概念 定义. 例5. 设 例7. 二、高阶导数的运算法则 例8. 1. 试从 * 求导公式及求导法则 (见 P95) 注意: 1) 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 速度 即 加速度 即 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1. 求 例3. 证明：函数 满足关系式 例4. 求指数函数 的 阶导数. 例2. 设 求 求 解: 一般地 , 类似可证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例6. 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 设 问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 当 时, 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼兹(Leibniz) 公式 及 设函数 推导 目录 上页 下页 返回 结束 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 设 则 代入莱布尼兹公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导出 解： 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 解: 2. 设 求 其中 f 二阶可导. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ① 例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求由方程 所确定的隐函数的 解: 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶导数 应用隐函数的求导方法 得 例5. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对数求导法 1) 对幂指函数 可用对数求导法求导 : 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 对 x 求导 两边取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若上述参数方程中 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 已知 练习: P112 题8(1) 解: 注意 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *