【数学】正余弦函数的图象.doc

正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图象 一．正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx图象 五点法作正弦函数y=sinx简图的五个关键点是： (0,0) (,1) ((,0) (,-1) (2(,0) 五点法作余弦函数y=cosx简图的五个关键点是： (0,1) (,0) ((,-1) (,0) (2(,1) 3．正弦函数y=sinx图象 4．余弦函数y=cosx图象 5．正弦函数y=sinx的对称性 （1）对称中心： （2）对称轴：直线 6．余弦函数y=cosx的对称性 （1）对称中心； （2）对称轴：直线 例1．求函数的对称中心和对称轴 《指南》P78 例1 二．图象变换 例2。用五点法画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图并指出可以由正弦函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到 解：(五点法)由T＝，得T＝π 列表： x – 2x+ 0 π 2π 3sin(2x+ 0 3 0 –3 0 描点画图： 这种曲线也可由图象变换得到： 即：y＝sinx y＝sin(x＋) y＝sin(2x＋) y＝3sin(2x＋) 1．三种变换 （1）．振幅变换:y=Asinx，x(R(A0且A(1)的图象 可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1) 或缩短(0A1)到原来的A倍得到的它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A． （2）．周期变换:函数y=sinωx, x(R (ω0且ω(1) 的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω1) 或伸长(0ω1)到原来的倍（纵坐标不变）． （3） 相位变换: 函数y＝sin(x＋)，x∈R (其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点 向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个 单位长度而得到 2．两个变换途径 由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋) 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径， 才能灵活进行图象变换 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0) 平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为 原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍 (ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移 个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象 例3．指出下面各题变换 （1）y＝sinx y＝sin(x＋) （2）y＝sin2x y＝sin(2x＋) （3）y＝sin(x－) y＝sin(x＋) （4）y＝sin（2x-） y＝sin2x 例4．把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( ) A向右平移 B向左平移 C向右平移 D向左平移 分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x的系数相同 解：∵y＝cos(3x＋)＝sin(－3x) ＝sin［－3(x－)］ ∴由y＝sin［－3(x-)］向左平移才能 得到y＝sin(－3x)的图象 答案：D 例5．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移， 再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来 的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同， 则y＝f(x)是( ) Ay＝sin(2x＋) By＝sin(2x－) Cy＝sin(2x＋) Dy＝sin(2x－) 分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题， 解题的思路是逆推法 解：y＝f(x)可由y＝sinx，纵坐标不变，横坐标 压缩为原来的1/2，得y=sin2x;再沿x轴向左 平移得y＝sin2(x＋)，即f(x)＝sin(2x＋) 答案：C 三．已知图象求解析式 例6．已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内， 当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得 最小值－2，则该函数的解析式为( ) Ay＝2sin(3x－) By＝2sin(3x＋) Cy＝2sin(＋) Dy＝2sin(－) 解析：由题设可知，所求函数的图象如图所示， 点(，2)和点(，－2)都是图象上的点，且 由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和 “第四点”，所以应有：