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人教版高中数学 导数复习提纲 （一） 主要知识及主要方法： 一 导数的概念 Ⅰ.导数的定义 导数的原始定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 定义式中，设，则，当趋近于时，趋近于，因此，导数的定义式可写成 . 导函数的定义：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。也可记作，即＝＝ 函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝.所以函数在处的导数也记作 可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。 可导与连续的关系：如果函数在点处可导，那么函数在点处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. Ⅱ.导数的实际意义： 导数的几何意义： 导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度. 故 是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 注意：“过点的曲线的切线方程”与“在点处的切线方程”是不尽相同的，后者必为切点，前者未必是切点. 导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。 Ⅲ.概念部分题型： ⑴利用定义求函数的导数 主要有三个步骤： ⅰ求函数的改变量 ⅱ求平均变化率 ⅲ取极限，得导数＝ ⑵利用导数的实际意义解题 主要有两种：求切线方程和瞬时速度（考试重点为求切线方程）。 利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？ 对应增区间；； 利用导数求极值：求导数；求方程的根；列表得极值已知，求 设函数在点处可导，求 （届高三皖南八校联考）已知，则 例2．求下列函数的导数： ； ； ； ； ； ； 例3.（1）利用导数求和Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*) （2）利用导数求和Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*) 例4．（1）（全国Ⅰ文）曲线y=x－2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 （ ） 30° 45° 60° 12° （2）（全国Ⅱ文）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 （ ） （3）（全国Ⅱ文）过点作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ） （4）求过点且与曲线相切的直线方程： 例5.（全国Ⅰ文）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是 （ ） 例6．的导函数的图象如图所示，则的图象最有可能的是 练习：已知函数 求函数的单调区间；（2）求 的最值； 例8.已知函数与的图象都过点且在点处有相同的切线求实数的值设函数求的单调区间并指出在该区间上的单调性，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线. （1）用表示a，b，c； （2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围. 练习：已知a≥ 0 ，函数f(x) = -2ax ） X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； 2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.，对任意实数，记． （I）求函数的单调区间； （II）求证：当时，对任意正实数成立； 练习：(07安徽)设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2a ln x＋1. 例7.（全国2卷理）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明： 练习：设a为实数,函数 求的极值. 当a在什么范围内取值时, 曲线轴仅有一个交点 1