新人教高中数学必修一指数函数及其性质教学案.doc

指数函数及其性质教学案 一、学习目标： 1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力 二、学法指导： 1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的 指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其简单应用. 2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣 三、知识要点 1．指数函数的定义：函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是 2.指数函数的图象和性质： 的图象和性质 a1 0a1 图 象 性 质 (1) 定义域： （2）值域： （3）过点（ ），即x= 时，y= （4）在 R 上是函数 （4）在R上是 函数 四、教学过程： （一）复习： 引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 分裂次数：1，2，3，4，…，x 细胞个数：2，4，8，16，…，y 由上面的对应关系可知，函数关系是. 引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数. （二）新课讲解： 1．指数函数的定义： 函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 探究1：为什么要规定a0,且a1呢？ ①若a=0，则当x0时，=0；当x0时，无意义. ②若a0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在. ③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a0且a(1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞). 探究2：函数是指数函数吗？ 指数函数的解析式y=中，的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a0,且a1)，因为它可以化为y=，其中0，且1 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象. 列表如下： x … -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 … y= … 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 … y= … 8 4 2 1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 … x … -1.5 -1 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 1 1.5 … y= … 0.03 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 31.62 … y= … 31.62 10 3.16 1.78 1 0.56 0.32 0.1 0.03 … 我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质 a1 0a1 图 象 性 质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 （三）．例题分析： 例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字） 分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求 解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y 经过1年，剩留量y=1×84%=0.841; 经过2年，剩留量y=1×84%=0.842; …… 一般地，经过x年，剩留量 y=0.84 根据这个函数关系式可以列表如下： x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 用描点法画出指数函数y=0.84x的图象从图上看出y=0.5只需x≈4. 答：约经过4年，剩留量是原来的一半 评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现 例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小： ①，； ②，； ③， 解：利用函数单调性 ①与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.71，所以函数y=在R是增函数，而2.53，所以，； ②与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.