解解直角三角形常用的数学思想.doc

解直角三角形常用的数学思想 数学思想是数学中的“软件”，若能正确把握它，并把它落实到学生学习和应用数学的思维活动中，就相当于找到了打开智慧之门的金钥匙．特别是在直角三角形的关系的学习和运用过程中，思想方法起着关键性的指导作用，是学习和运用这部分知识的工具．、转化思想 在研究和解决有关直角三角形的边角关系问题时，借助直角三角形的性质，或将已知条件、或将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想．，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：） 分析：通过作辅助线，即过点A作AD⊥BC，要求BC的由题意知可和Rt△中分别求BD、CD的长再利用BC=BDCD可求出BC的长．解：如图1，过点作，垂足为， 根据题意，可得，，． 在Rt△中，由， 得． 在Rt△中，由， 得． ∴． 答：这栋楼高约为152.2 m． 二、方程思想 　所谓方程思想就是在处理有关直角三角形中的问题及利用直角三角形的边角关系来解决实际问题时，依据题意设立适当的未知数，再从题目的条件和要求问题中寻求等量关系，构造出方程或方程组，从而使问题获解．例2 如图2，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数） 分析：分别过点A、点C向作MN作垂线，构造出直角三角形，注意到两个直角三角形中的边长均为未知，但两个三角形元素间又有诸多联系，这时需设未知数构建方程求解． 解：过点A作AE⊥MN于E，过点C作CF⊥MN于F， 则EF=AB－CD=1.7－1.5=0.2． 在Rt△AEM中∠AEM=90°，∠MAE=45°，∴AE=ME． 设AE=ME=x，∴MF= x+0.2，CF=28－x． 在Rt△MFC中，∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴MF= CF·tan∠MCF， ∴x+0.2=(28－x)，∴x≈10.0，∴MN≈12． 答：旗杆高约为12米． 例3 如图3BC＝6米，AB＝9米，中间平台宽度DE为2米，DM、ENDM、ENAB，垂足分别为MN，∠EAB＝30°，∠CDF＝45°．求DM和BC的BM．（精确到0.1米，） 分析：注意到EN＝DM＝FB，而FB＝BC－CF，籍此沟通Rt△CDF和Rt△ANE之间的联系．直接设未知数即可列出方程求解． 解：设DF． ∵∠CDF°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米．∴BF＝BC－CF＝（6－x）米，∴EN＝DM＝FB＝（6－x）米． ∵AB＝9米，DE＝2米，DF＝x，∴AN＝AB－MN－BM＝（7－x）米． 在Rt△AEN中，EN＝AN?tan30°，即6－x＝（7－x）． 解这个方程得：≈． DM距BC的水平距离约为4.6米． 三、建模思想 　所谓建模思想就是题意，将实际问题抽象数学问题，建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解决问题的目的．例4 今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东600的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东300的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由（参考数据＝1.732） 分析：．过作AD⊥BC交 BC的延长线于点D将实际问题转化为解直角三角形问题． ．∵A在B北偏东600方向上，∴∠ABD＝300， 又∵A在C北偏东300方向上，∴∠ACD＝600．∵∠ABC＝300，∴∠BAC＝300，∴∠ABD＝∠BAC，∴AC＝BC．∵BC＝120，∴AC＝120．Rt△ACD中，∠ACD＝600，AC＝120，∴CD?＝ 60 ，AD ＝．Rt△ABD中因为∠ABD＝300，∴AB＝．，第二组时间：， ∵207.84＞∴第二组先到达A处．． C 图1 A B D M N BO A DO C 30° 45° 图2 E F A N M B F C E D 图3 图4