计算力学课堂教学课件第2章-3.ppt

2.3 广义坐标有限元法的一般格式 2．用单元结点位移 3．以单元结点位移ae 表示单元位移函数u，得到单元插值函数矩阵N将（2．3．3）式代入（2．3．l）式 4．以单元结点位移ae 表示单元应变和应力应变： 5．用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程 系统总位能的离散形式 总位能的变分 6．引入强制边界条件 7．解方程得到结点位移 8．进行需要的辅助计算 如利用（2．3．6）、（2．3．7）式计算单元应变和应力，也可按需要计算其他项目。 由上面过程可以看到： 1～3是假定位移模式、求解广义坐标，最后得到单元插值函数。这三步是广义坐标有限元的特征。 4～5是利用变分原理建立有限元格式的一般方法。这里用的是最小位能原理，建立以位移为基本场变量的有限元求解方程，求解平衡问题。 6～8是建立有限元方程后的一般解法和计算步骤。 广义坐标有限元可能产生的困难是： 当位移函数选择不恰当时，可能不存在A-1而使求解广义坐标?成为不可能。 同时，当单元结点较多时，解广义坐标的过程显得繁琐，因此也可以利用自然坐标直接构造单元的插值函数，这样就可以避免求解广义坐标的过程，建立有限元的方程和求解只需从第4步开始。 本章第5节将结合矩形单元和高精度三角形单元讨论直接建立单元插值函数的方法，关于建立单元插值函数更系统方法将在下一章中给出。 2.4 有限单元解的性质与收敛性 对于平面应力问题，应变矩阵、应力矩阵和单元刚度矩阵的显式如（2．5．18）式～（2．5．20）。 由应力矩阵（2．5．14）式或（2．5．19）式可见，矩形单元中的应力分量都不是常量。 正应力分量?x的主项（即不与?相乘的项）沿x方向按线性变化，而它的次要项（与?相乘的项）沿x方向按线性变化。 正应力?y 与此相反。 剪应力分量?xy则沿x及y两个方向都呈线性变化。 这种一个方向为常量，另一方向呈线性变化的情况通常并不能提高单元的精度。 矩形单元明显的缺点是不能很好地符合曲线边界， 包括与坐标轴不平行的直线边界，因此直接应用受到限制。 解决上述问题的方法之一是采用矩形单元和三角形单元混合使用，如图2．13所示。 更为一般的方法是通过等参变换将局部坐标内的矩形单元变换为总体坐标内的任意四边形（包括曲边四边形）的单元，这将在第4章中进行讨论。 x y （2.2.49） （4）x方向三角形分布力 （6结点三角形单元） 0 0 0 0 所求单元等效结点载荷为： 求：图示 6 结点三角形单元的等效结点载荷 （1）自重作用 （2）均布侧压力 （3）边界 x 方向均匀分布力 思考题： 同理，可求得： 2 3 1 4 8 5 6 7 （2）4个中点： 将5点的坐标： 代入 由此可解得： 2 3 1 4 8 5 6 7 将6点的坐标： 代入 由此可解得： 2 3 1 4 8 5 6 7 2 3 1 4 8 5 6 7 —— 8结点矩形单元插值函数或形函数 （三次多项式） 2 3 1 4 8 5 6 7 单元位移分布函数为： 说明： 矩形单元的缺点： 对边界形状的适应差。 矩形单元的优点： （1）插值函数（形函数）容易构造； （2）单元矩阵 ke、Pe 积分求解方便。 2.5.2 高精度三角形单元 6节点 三角形单元 1 2 3 4 5 6 Pascal 三角形 1. 二次单元： 6节点三角形单元 其中： 4，5，6节点为三角形边的中点。 单元位移模式： 应变与应力向量： 应变、应力 —— 线性分布 —— 协调单元 满足完备性； 满足协调性。 6节点三角形单元的精度较3结点单元高。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10节点 三角形单元 2. 三次单元： 10 节点三角形单元 其中： 4-9 节点为三角形三边的三分点，10结点为三角形的中点。 Pascal 三角形 单元位移模式： 应变、应力 —— 抛物线分布 —— 协调单元 满足完备性； 满足协调性。 其精度高于6节点的三角形单元。 2.5.3 面积坐标为自然坐标时三角形单元的插值函数及单元矩阵的计算 1. 面积坐标 i j m P (x,y) Ai Am Aj (xi,yi) (xj,yj) (xm,ym) 设 P（x,y）为单元内任一点，该点与单元三角点的连线确定三个三角形，其面积分别用：Ai、Aj、Am 表示， (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 令： （2.5.23） P点的位置完全由此确定，即 —— 称为面积坐标 其中：A 为三角形单元的面积，有 显然，有 i j m P (x,y) Ai Am Aj (xi,yi) (xj,yj) (xm,ym) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 面积坐标的特点： （1） 角点