1.3 Cramer法则.ppt

第一章 行列式 1.3 Cramer法则 * * 知识回忆 P12 性质6 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念 一、定理1（克莱姆法则） 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 （2） 该定理包括三个结论： 方程组在 时有解； 解是唯一的； 解由公式（2）给出。 这三个结论相互之间有联系，因此证明的步骤是： 1、把（2）代入方程组，验证它是方程组（1） 的解； 2、假设方程组有解，则它的解必可由公式（2） 给出。 证：把方程组简写成 首先证明公式（2）确是方程组（1）的解。把 代入第i个方程得： 展开 因此 确是方程组（1）的解。 再证方程组（1）的解必由公式（2）给出。设 是方程组（1）的任一解， 则有 —（3） 用D中第j列元素 的代数余子式 依次乘以（3）中每个方程得 把这n个方程相加得： 而 展开 故 例1 用克莱姆法则解方程组 解