16_动力学普遍方程与拉格郎日方程.ppt

1 解：（1）以系统为研究对象。轮A作定轴运动，轮B作平面运动，系统具有两个自由度。取两轮的转角为j1和j2广义坐标，设顺时针转向为正。 例16-4 两半径均为 r、质量均为 m 的均质圆轮 A和 B，用绳缠绕连接如图16-4所示。不计绳重和摩擦，求轮 B 下落时两轮的角加速度及 B 轮质心 C 的加速度。 （2）计算动能。两轮的角速度分别为 和 轮B质心C的速度为 系统的动能 （3）计算拉氏函数，以过点O的水平面为势能零面，系统的势能 l0为系统开始运动时两轮心的高度差 （4）应用拉格朗日方程 系统运动微分方程 的方向为铅垂向下。 例16-5 物块A和B的质量为m，用刚度系数为k的三根弹簧连接如图16-5所示。不计摩擦，试求物块A、B的运动微分方程。 （2）任一瞬时系统的动能 解：（1）以系统为研究 对象。系统的自由度系数为 二，分别取物块相对其平衡 位置的水平偏移x1和x2为广义坐标。 （3）系统的主动力为有势力，三根弹簧的变形量分别为x1，x2-x1和x2，取弹簧未变形的末端为势能零点，则系统主动力的势能为 （4）应用拉氏方程 得系统的振动微分方程 达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。 虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。 通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广 应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－ 拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。 结论与讨论 第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。 动力学普遍方程适用于具有理想约束或 双面约束的系统。 动力学普遍方程既适用于具有定常约束 的系统，也适用于具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程既适用于具有完整约束 的系统，也适用于具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程既适用于具有有势力的 系统，也适用于具有无势力的系统。 结论与讨论 第二类拉格朗日方程:仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。 基本形式 主动力有势形式 结论与讨论 例 ：均质圆柱A的质量为M、半径为R，物块B的质量为m，光滑斜面的倾角为b，滑轮质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。若以q 和y为广义坐标，试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程求： （1）系统运动微分方程； （2）圆柱A的角加速度和物块B的加速度。 A b B y q A b B y q mg Mg FIA FIB MIA 解：（1）在系统上施加惯性力如图所示。 其中： ； 应用 动力学普遍方程， 系统运动微分方程： 整理后有： 应用 第二类拉格朗日方程： A b B y q * 16 分析力学基础 达朗伯原理，把质点系动力学问题转化为虚拟的 静力学平衡问题求解。 虚位移原理是用分析法求解质点系静力学平衡问 题的普遍原理。 将二者相结合，就可得到处理质点系动力学问题 的动力学普遍方程（General equations of dynamics） 对此方程进行了广义坐标变换，可以导出拉格朗日 方程（Lagrange’s equations of motion）。 拉格朗日方程为建立质点系的运动微分方程提供了十分方便而有效的方法，在振动理论、质点系动力 学问题中有着广泛地应用。 16.1 动力学普遍方程 对于 n 个质点组成的质点系，在任一瞬时，作用于系统内的任一个质点 Mi 上的力有： 主动力主矢 ，约束反力主矢 。 在该质点上虚加惯性力 达朗伯原理： 虚平衡状态 给任一组虚位移 双面、理想约束 （16-2） （16-1） 表示：具有理想约束的质点系，任一瞬时作用于其上的 主动力和惯性力在系统的任一组虚位移上的虚功之和等 于零。 动力学普遍方程。 共同点：不含理想约束反力，独立方程数等于自由度数。 区别：动力学普遍方程中除主动力外，还有惯性力。 动力学普遍方程与静力学普遍方程： 已