第8章 数学概念及教学.ppt

第九章 数学概念及其教学 （一） 数学概念的逻辑基础 （二）数学概念的教学 （一） 数学概念的逻辑基础 数学概念的含义 数学概念的内涵与外延 数学概念间的关系 数学概念内涵与外延的反变关系 数学概念的定义 数学概念的划分 数学概念的含义 思考：数学概念是怎么来的? 概念是反映事物本质属性的一种思维形式。 数学概念是反映思考对象空间形式与数量关系本质属性的思维形式。 数学概念的内涵与外延 概念的内涵：是指反映在概念中的对象的本质属性。 概念的外延：是指具有概念所反映的本质属性的对象。 数学概念间的关系 同一关系 属种关系（或从属关系） 交叉关系 全异关系 同一关系 外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系； 如：“直线”与“一次曲线”；“无理数”与“无限不循环小数”；“等边三角形”与“等角三角形”；“等边的矩形”与“等角的菱形”；在同一个圆中的“直径”与“最大的弦”； “等腰三角形底边上的中线”与“等腰三角形底边上的高” 属种关系（从属关系） 如果A概念的外延包含B概念的外延,那么这两个概念间的关系称为从属关系。其中A概念叫做B概念的属概念(或上位概念),B概念叫做A概念的种概念(或下位概念)。 如,“复数”、“实数”、“有理数”、“整数”、“自然数”它们之间的关系是从属关系。 交叉关系 外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系,称为交叉关系 。 如：“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整数”、“菱形”与“矩形”。 全异关系 若两个概念A和B的外延之交为空集，则这两个概念A与B之间的关系为全异关系。 矛盾关系：如果某一概念的两个种概念A和B,其外延是相互排斥的,且这两个种概念外延之和等于它们最邻近的属概念的外延,那么这两个类概念A和B之间的关系称为矛盾关系。 对立关系：如果某一概念的两个种概念A和B,其外延是互相排斥的,且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延,那么这两个类概念A和B之间的关系称为对立关系。 数学概念内涵与外延的反变关系 具有从属关系的概念，内涵越少，外延越大；内涵越多，外延越小。 得到新概念的方式： （1）概念的限定（增加概念的内涵，使外延较大的概念演变为外延较小的概念的一种逻辑方法） （2）概念的概括（减小概念的内涵，使外延较小的概念演变为外延较大的概念的一种逻辑方法） 数学概念的定义(结构、方式和规则) 定义的组成和表达（被定义项Ds，定义项Dp，定义联项） “邻边相等的矩形是正方形。” 下定义的方法 定义的规则 下定义的方法 属种式定义 发生式定义 关系式定义 约定式定义 外延式定义 递归式定义 属种式定义 被定义的概念=最邻近的属概念+种差。 如：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 两边相等的三角形是等腰三角形； 如：等差数列、等比数列 发生式定义 通过被定义概念所反映对象发生过程或形成的特征描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法。 判断：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 如：椭圆、双曲线 关系式定义 以事物间的关系作为种差的定义方式。 如：“b（不等于0）整除a就是有一个整数c使 a=bc” “零是这样一个数，它和a这个数相加得a” 约定式定义 有些被定义概念,不易揭示它的内涵,以客观实践为基础,直接指出概念的外延,把它规定下来,这样的定义法称为约定式定义法。例如,零指数和负指数的定义 外延式定义 用列举概念的外延给概念下定义的方法称为列举定义法。用公式表示为:被定义概念(属)=种概念A1+种概念A2+种概念A3+… 如：整数和分数统称为有理数 有理数和无理数统称为实数 递归式定义 递归定义法是归纳定义法中的一种重要的定义法,其形式是:设{A1,A2,A3,A4，…，An,…}是一族待定义的对象(n为自然数),首先定义(i=1,2,…,n),假定A1,A2,A3,…,An已经定义,再定义An+1 如： N个实数的求和 定义的规则 规则1：定义应当是相称的（定义项与被定义项的外延必须相同） 规则2：定义不得循环 规则3：定义必须清楚确切（定义项不能包含含糊不清的概念） 规则4：定义项一般不用否定形式。 数学概念的划分 概念的划分(或分类)是从概念的外延方面明确概念的逻辑方法。概念的划分就是把被划分的概念作为属概念,并根据一定的属性把它的外延分成若干个全异的种概念。 划分的三要素：母项、子项、划分的依据 划分的类型 划分的规则 划分应是相称的 每一次划分只能用一个根据 划分的子项必须互相排斥 划分不能越级 数学概念的教学 数学概念的学习过程 数学概念的教学过程 数学概念的学习过程 数学概念的特点 数学概念的获得 （基本形式：概念的形成、概念的同化） 数学