倒立摆系统建模及MATLAB仿真.DOCVIP

倒立摆系统的建模及MATLAB仿真 通过建立倒立摆系统的数学模型,应用状态反馈控制配置系统极点设计倒立摆系统的控制器,实现其状态反馈,从而使倒立摆系统稳定工作。之后通过MA TLAB 软件中Simulink工具对倒立摆的运动进行计算机仿真,仿真结果表明,所设计方法可使系统稳定工作并具有良好的动静态性能。 倒立摆系统是1个经典的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统,是用来检验某种控制理论或方法的典型方案。倒立摆控制理论产生的方法和技术在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。因此研究倒立摆系统具有重要的实践意义,一直受到国内外学者的广泛关注。本文就一级倒立摆系统进行分析和研究,建立倒立摆系统的数学模型,采用状态反馈极点配置的方法设计控制器,并应用MA TLAB 软件进行仿真。 1 　一级倒立摆系统的建模 1. 1 　系统的物理模型 如图1 所示,在惯性参考系下,设小车的质量为M ,摆杆的质量为m ,摆杆长度为l ,在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ,作用在小车上的水平控制力为f 。这样,整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3 外力的共同作用。 图1　一级倒立摆物理模型 1. 2 　系统的数学模型 在系统数学模型中,本文首先假设: (1) 摆杆为刚体。 忽略摆杆与支点之间的摩擦。 忽略小车与导轨之间的摩擦。 然后根据牛顿第二运动定律,求得系统的运动方程为: 方程(1) , (2) 是非线性方程,由于控制的目的是保持倒立摆直立,在施加合适的外力条件下,假定θ很小,接近于零是合理的。则sinθ≈θ,co sθ≈1 。在以上假设条件下,对方程线性化处理后,得倒立摆系统的数学模型: 1. 3 　系统的状态方程 以摆角θ,角速度θ,小车的位移x ,速度x为状态变量,输出为y 。即令: 则一级倒立摆系统的状态方程为: 2 　控制器设计及MATLAB 仿真 2. 1 　极点配置状态反馈的基本原理 图2 　状态反馈闭环控制系统 极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态反馈方法,将闭环系统的极点配置到任意期望的位置。考虑控制系统:x= A x + B u (5) 其中x 是状态向量( n 维向量) , u 是控制信号(纯量) ,选取控制信号为:u = - Kx (6) 这样控制信号是由瞬时状态确定,此方法称为极点配置状态反馈法。图2为具有u = - Kx 的闭环控制系统。将式(6) 代入式(5) 得:?x ( t) = ( A - B K) x ( t) ,该方程的解为: x ( t) = e( A - B K) t x (0) 式中x (0) 是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵A - B K 的特征决定。如果矩阵K 选取适当, 则可使矩阵A - B K构成1 个渐近稳定矩阵,并且对所有的x (0) ≠0 ,当t 趋于无穷时,都可使x ( t) 趋于0 。称矩阵A - B K的特征值为调节器极点。如果这些调节器极点均位于s 的左半平面内,则当t 趋于无穷时, x ( t) 趋于0 。将闭环极点配置到所期望的位置, 称为极点配置问题。因而极点配置状态反馈控制器的设计最主要就是K 值的计算。 2. 2 　极点配置状态反馈控制器的设计 一级倒立摆系统是一个不稳定的系统。控制器的目的是使倒立摆系统动态稳定,即保持倒立摆在垂直的位置,使小车在外力作用下其位移以较小的误差跟随输入的变化。由于系统的动态响应主要是由他的极点位置决定的,同时容易证明一级倒立摆系统是一个能控而且能观的系统。因此本文通过极点配置状态反馈控制器来使系统保持稳定。 状态反馈控制方程为: f = - Kx =- [ K1 　K2 　K3 　K4 ] x 闭环系统的方程为:x = A x + B f = ( A - B K) x 选取所期望的闭环极点位置:μ1 ,μ2 ,μ3 ,μ4 根据如下MA TLAB 程序可求得状态反馈增益K(假设小车的质量为3 kg ,摆杆的质量为0. 1 kg ,摆杆的长度为0. 5 m) ,程序如下: M = 3 ; 　m = 0. 1 ; 　l = 0. 5 ; 　g = 9. 81 ; A21 = (M + m) / M/ l 3 g ; A41 = - m/ M3 g ; B21 = - 1/ M/ l ; B41 = 1/ M; A = [0 1 0 0 ;A21 0 0 0 ;0 0 0 1 ;A41 0 0 0 ] ; B = [0 ;B21 ;0 ;B41 ] ; C = [1 0 0 0 ;0 1 0 0 ;0 0 1 0 ;0 0 0 1 ]