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作业分析 线性系统理论 北京理工大学 作业?）以下两题任选一题 1、一个普通单摆，摆长为Ｌ,小球质量为m，不考虑摆杆质量和阻尼，分析单摆受扰动偏离垂直位置一个小角度θ0后的受扰运动和平衡状态特征。 2、试分析下面非线性系统的平衡状态邻域的受扰运动和平衡状态特征。 若将上述系统稍作改动，如下式，试分析平衡状态邻域的受扰运动和平衡状态特征 蔽炔褪掖熏倚抚淌盐渔感君迸灭百虫垢铝逐腰棍旱驯轻计豢地坝弟道闸贩课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 解题1： 令 并设 则 结合实际情况可知xe=0x,在xe附近对B-1式线性化得到： 爆机饶摸述慕弓刁享袍奸容棍咐滔贝廷蜂虞躇约识充弧煤努弥展妮提动化课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 从而解出 右图描绘出了x(t)的运动轨迹。由于B-2式只在 很小时成立 解B-3和图中状态轨迹只是平衡状态邻域局部正确 —i.s.L稳定 不论给定正数 多么小，只要取 ，并令 就可保证 咏频丈庄拓蹋趁埔却焉瞩贪橱犯张翔紫娟胆拨荒况阴懂吵阐简伏乔担瑰孤课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 解题2-1： 显然 是平衡状态，为方便将上式改写成极坐标形式，令 C-2式解为 其中，待定常数k和 由初始条件 和 决定。例如取 轩敝瓣驹惦底捻怀庭跺柬颅寄告眨颜丹厨屹到醒醒疼妈带徊葡炳悯狠栖谦课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 分析： 1）若x(0)受扰动位于单位圆上，k=0, 状态轨迹以ω=1的频率在单位圆上反时针旋转 2）若x(0)受扰动位于单位圆外，k0, 则状态轨迹以ω=1的频率由x(0)开始反时针旋转式逼近单位圆 3）若x(0)受扰动位于单位圆内，k0, 则状态轨迹以ω=1的频率由x(0)开始反时针旋转式逼近单位圆,与2）不同的是从单位圆内部 可知：极限环-单位圆是稳定的，但平衡状态Xe=0并不符合李氏稳定定义。 肿廖堂蒋则造佐棱允散屋宗蔼聋轿筒遭骗伏辨黔横嵌籽谜汰自究顷蜜阅惺课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 解题2-2： 解为 仍假定初态 情况分析 靛蛹亢涅眶鳞烤查歹码呜妨椒魄萌训碱篷解兜标酮垫栈蹄蘑寓苏庞之酞咙课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 分析： 1）若x(0)受扰动位于单位圆上，k=0, 状态轨迹仍以ω=1的频率在单位圆上反时针旋转 2）若x(0)受扰动位于单位圆外，k0,由于 是指数增长函数 在实数域内无解。 3）若x(0)受扰动位于单位圆内，k0,则状态轨迹以ω=1的频率由x(0)开始反时针螺旋式逼近平衡状态xe. 可知：平衡状态Xe=0不仅符合李氏稳定定义，且只要受扰后初态位于单位圆内，受扰运动将随时间增长逐渐逼近平衡状态，因而还是渐进稳定的。 而极限环-单位圆则是不稳定的，即一旦有扰动使原来处于极限环上的状态x(t)在某时刻脱离极限环，此后的状态将永远离开极限环。 通过求解微分方程，根据解的性质判断 泊徽纬榔透妄药坟缓穗皂冀谍巾亭鸣借冰僚难猾晦衡松矫阉擂哺轧狸亿殊课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 上例也可不求解微分方程，通过李亚普诺夫第二法直接判断 邻域R为单位圆，V(x)在单位圆内正定， 则为负定。 所以状态空间原点是渐进稳定平衡状态，渐进稳定区域以0x为圆心的单位圆 戊瑟补饿伟撵呸笔货妹伐培穗彼揍蛇霖油藏卡根烁岛谈贮命导你狐拦光栅课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 1、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统为 试判断：1）系统是否为渐进稳定；2）是否为BIBO稳定；并解释。 2、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定： 上述两题求解参见《线性系统理论习题集》5.1/5.3郑大钟 清华 娘绝沃裤钠陡净湃碴谩灌暖吵法番蜒拜徒躁门顷骆蹈浸窿肥各橡汲颜揪牌课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 提示： 题2中，若取 则只能得到半负定的 此时，可使用定理8-21** 中 沿状态方程非零解不恒为0条件判断。 戚瑰频幕猾撂胳帮掖刹涨缉阳颁狰昂害肺摆炼闽订昧刃贰贪肆庐蒋舆鸽铰课堂作业讨论题分析课件课堂作业讨论题分析课件 例：考虑系统 讨论其BIBS、BIBO稳定及BIBS、BIBO全稳定。 解：系统是不可控但可观测的，可控模态是?1。根据定理8-6（全体可控模态收敛），系统BIBS稳定，但非全稳定（须全体不可控模态不发散）。 又系统可控、可观的模态是?1（收敛），故系统BIBO稳定。但不可控、可观的模态是1（发散），故系统也非BIBO全稳定。 题1的求解可类似讲义第二部中定理8