第三章刚体力学3.pptVIP

* 所以 这些分量的变换为 而且这类量相加满足交换率，这类量被称为矢量。 红色这句话的条件通常满足。 如果一个量有3（31）分量， 在坐标系的转动下， （ i＝1，2，3） * i,j=1,2,3, 4、n阶张量（n为0或正整数） 一个量，有 3n个分量 一个量，有 32＝9个分量T ij ，（i,j=1,2,3）, 在坐标系的转动变换下， 在坐标系的转动变换下: 3、二阶张量 ( i1, i2,…, in = 1, 2, 3 ) 这里，n＝0，1，2，…。 不特别说明阶数的张量一般指2阶张量。 * n=1, 31 =3个分量, …… 当n=0, 30 =1个分量, 在坐标系的转动下不变，为标量。 在坐标系的转动下 为1阶张量，即矢量。 * 5、正交变换 ∵ ∴ ＝ xk 由此得， 以上结果对任意x1， x2 ， x3 都成立， ∴ 即: ∵ 设: ∴ 因为 r’ 和 r 是任意的，所以： * 所以： ∴ ∴ 即: 满足这个条件的所有变换构成O(3)群, Orthogonal group 。 j, k = 1,2,3. * （1）相加 与矢量相同， 任意两个同阶的张量可以相加，和为同阶张量， 和的每一个分量都为两个相加张量的对应分量 之和。 Tij+ Uij =Vij , i, j = 1,2,3. 6、张量的运算 （2）数乘 与矢量相同， 任意一个张量可以与一数(即标量)相乘，其积的阶 数不变。积的每一个分量都为原张量的对应分量 与该数的积, s Tij=Vij , i, j = 1,2,3. * 任意两个张量可以做外积。一个n阶张量 和一个m阶张量的外积，为一个n+m阶张量。 Vijk＝ UiTjk , i, j , k= 1,2,3. 上面的（2）是（3）的特例。 （3）外积 （4）内积（点乘、收缩） 内积可以看成矢量的点乘的推广，对任意一个张量 或几个张量，内积后的结果仍为一个张量。 * 给定2个1阶张量（矢量）T 和 U， 它们的（1次）内积[（1次）点乘 ]为：V= UiTi ， 即2个矢量的1对分量下标取相同值，并从1到3求和。 2个矢量，共有2个下标， 但由于求和，得到1个量，从得到的量的个数看， 符合标量的要求。 根据标量的变换性质容易证明，2个矢量内积后的结果 的确是一个标量。 矢量的一次内积可以推广到任意个任意阶张量 的多次内积。 * Vijl = TijkUkl = Tij1U1l + Tij2U2l + Tij3U3l， Vijl构成3阶张量的ijl分量，这里的运算中， 对1对下标求和，称为1次内积。 例如，i，j，l为1，2，3中的任意值: 由3阶张量T和2阶张量U可以定义一组数Vijl： 同理， TijkUjl ， TijkUlmV jn，Tijj ， Uii 都是一次内积。 如对2对下标求和，相应的运算为2次内积， Vk = TijiUjk 为1阶张量（矢量）的k分量。 类似的，可以引入3次以上的内积。 * 减去内积次数的2倍（减少的下标个数） ， 就是内积结果的张量阶数（剩下的下标个数） 。 参加内积的张量的阶数和（下标的总个数）， 下面举例证明这个结论。 = okq Tlml Umq ， dln TijiUjk dmp 为1 阶张量，即矢量。 = oil ojm oin Tlmn o jp okq Upq ≡ T’ ijiU’ jk ( )’ * 分量形式是张量的最基本形式， 其次是基矢形式， 7、张量的基矢和矩阵形式 然后是矩阵形式。 但某些情况下矩阵形式比较简单。 以带电粒子的电荷q为例: 分量 基矢 矩阵 q q q (1)标量 张量某些性质和运算也可以表示为 基矢形式和矩阵形式。 这也是把张量表示成基矢形式和矩阵形式的根据。 * 两个矢量r= x i ei和s= yi ei的内积就是点乘： r·s = x i ei · yj ej = x i yj ei · ej = x i yj dji= xi y i 。 内积的矩阵形式为： x i ,i =1,2,3; 或 r = x i ei ； 以质点的位置矢径r为例: 分量 基矢 矩阵 (2)矢量 * (3) 2阶张量 2阶张量 T 的基矢形式为： Tij ei ej ， 其中， ei ej 称为并矢， 它前面的系数就是2阶张量的ij分量。 上面的2阶张量的基矢形式可以记为： 或 ， 即： 这里的ij分