第六章：定积分的应用2012.pptVIP

第六章 第二节 一、平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例１. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例２. 求连续曲线段 例３. 计算摆线 例４. 求阿基米德螺线 例５. 求心形线线 直角坐标系情形 例5. 求由摆线 极坐标系情形 例11. 设 例12. 设非负函数 又 例13. 证明曲边扇形 第三节 一、 变力沿直线所作的功 例1. 例2. 例3. 例4. 半径为 R , 密度为 因此微功元素为 例5. 设有半径为 R 的半球形容器如图. (1) 求 (2) 将满池水全部抽出所做的最少功 思考与练习 二、液体侧压力 例6. 说明: 三、转动惯量 例7. x y o 旋转体的体积为 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 例 8 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆 半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积 . 解 体积元素为 例 9 求由曲线 2 4 x y - = 及 0 = y 所围成的图形 绕直线 3 = x 旋转构成旋转体的体积 . 解 例 10 求摆线 ) sin ( t t a x - = ， ) cos 1 ( t a y - = 的一拱与 0 = y 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴 旋转构成旋转体的体积 . 补充 利用这个公式，可知上例中 柱壳法 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 故 曲线 与直线 及坐标轴所围图形 (1) 求函数 (2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 解: (1) 由方程得 面积为 2 , 体积最小 ? 即 故得 (2) 旋转体体积 又 为唯一极小点, 因此 时 V 取最小值 . 绕极轴 证: 先求 上微曲边扇形 绕极轴旋转而成的体积 体积微元 故 旋转而成的体积为 一、 变力沿直线所作的功 二、 水压力 三、 转动惯量 定积分在物理学上的应用 第六章 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 一个单 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 体, 求移动过程中气体压力所 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 上的一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( KJ ) 设水的密度为 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 的球沉入深为H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度 多少功 ? 解: 建立坐标系如图 . 则对应 上球的薄片提到水面上的微功为 提出水面后的微功为 现将其从水池中取出, 需做 微元体积 所受重力 上升高度 球从水中提出所做的功为 “偶倍奇零” (1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为 为h (0 h R ) 时水面上升的速度 . (2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最 少应为多少 ? 解: 过球心的纵截面建立坐标系如图. 则半圆方程为 设经过 t 秒容器内水深为h , 由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为 而高为 h 的球缺的体积为 半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成 体积元素: 故有 两边对 t 求导, 得 at (升) , 为将全部水提 对应于 微元体积: 微元的重力 : 薄层所需的功元素 故所求功为 到池沿高度所需的功. 提示: 作 x 轴如图. 1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口, 缆绳每 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 抓斗抓起的污泥重2000N , 提升速度为3m /s , 问 克服重力需作多少焦耳( J ) 功? 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由 抓起污 x 提升 dx 所作的功为 米重50N , 提升抓斗中的污泥: 井深 30 m,