第十章6重积分应用.pptVIP

* 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内．这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 重积分的应用 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 1。平面图形的面积 由二重积分的性质，当 f( x, y ) =1 时 区域D的面积 2。空间立体的体积 设曲面的方程为 对三重积分而言 则曲顶柱体的体积为 由三重积分的物理意义知空间闭区域 的体积为 计算由曲面 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 由对称性得 例1 解二 用三重积分 所围成的立体的体积 解一 （用极坐标） 解二 是柱形区域，用柱坐标 例2 ①．设曲面的方程为： 如图， 3。曲面的面积 曲面S的面积元素 ②．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： ③．设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 解 曲面的方程为 求半径为R的球面的表面积 解 曲面方程为 （由对称性） 例4 计算圆柱面 被圆柱面 所截的部分的面积 解 由对称性可知A=8A1 A1 的方程 例5 面密度为 f(x,y) 的平面薄片的质量 体密度为 f(x,y,z) 的空间体的质量 4。质量 5。平面薄片的重心 由元素法知 若薄片是均匀的，重心称为形心. 解 6。平面薄片的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量 解 解 薄片对 轴上单位质点的引力 为引力常数 7。平面薄片对质点的引力 由积分区域的对称性知 所求引力为 解 几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、 对质点的引力 （注意审题，熟悉相关物理知识） 以上我们以二重积分为例详细介绍了二重积分的应用，其实对三重积分也有实际应用问题，如体积、重心坐标、转动惯量、空间物体对质点的引力等，所有这些概念都可以从二重积分的概念中类比而得出相关的概念，建议大家类比地写出，以加深理解。 小结： 1。平面图形的面积 2。空间立体的体积 3。曲面的面积 曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影区域为D 关于重积分应用 * 设平面上有个质点，它们分别位于，，处，质量分别 为．则该质点系的重心的坐标为 ， ． 设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，平面薄片的重心 例6. 设平面薄板由，与轴围成，它的面密度，求形心坐标． 先求区域D的面积A， ， 由于区域关于直线对称 ， 所以形心在上， 即 , 设平面上有个质点，它们分别位于，，处，质量分别为．则该质点系对于轴和轴的转动惯量依次为 ， . 设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，平面薄片对于轴和轴 的转动惯量为 例7. 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为、，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量. 设三角形的两直角边分别在 轴和轴上，如图 先求形心 建立坐标系如图 因为矩形板均匀, 由对称性知形心坐标 ，. 将坐标系平移如图 对轴的转动惯量 设有一平面薄片，占有面上的闭区域，在点处的面密度为，假定在上连续，计算该平面薄片对位于 轴上的点 处的单位质点的引力． 求面密度为常量、半径为的均匀圆形 薄片：，对位于 轴上的 点处的单位质点的引力． 例3. 求球面，含在圆柱体 内部的那部分面积. 由对称性知, , 于是 面积 所求形心坐标为 . 对轴的转动惯量为 同理：对轴的转动惯量为 例8. 已知均匀矩形板（面密度为常数）的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 对轴的转动惯量