经济数学--第二章极限与连续.pptVIP

1、数列的定义: ① C=C（常数列的极限就是这 个常数） ②设a0，则特别地 ③设q∈(-1，1)，则 qn=0； 或 不存在。 2.1.3函数的极限 1、自变量趋于无穷大时函数的极限 直观定义: 设 在 ( )时有定义, 若 无限增大时, 无限趋近于确定常数A ,则 称 时, 以A为极限,记为 直观定义: 设函数 在点 的某一邻域内有定义(点 可以除外),若 以任意方式趋近于 时, 无限趋近于确定常数 ,则称 时, 以 为极限.记为 例 设函数 2.2极限的运算法则 法则 3： 若 特别：若 例1求 作业3 求 2.3极限存在准则与两个重要极限 二、两个重要极限 例1. 求 1、 无穷小量 2、 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 定理 2.1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 2、 极限非零的变量与无穷大之积仍为无穷大 无穷小与无穷大的关系 例： 求 等价无穷小替换 内容小结 例1 解 由夹逼准则得 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 证： (舍去) . ) n 例2 ( 的极限存在 式 重根 证明数列 1、 BD弧BCAC sinxxtanx 上式同时除以sinx,得： 再进一步处理，得： 上式子对于 也成立 由于 由夹逼准则得： 解: 例2 （1） 解: 2、 定义 2、 无穷大量 1、 无穷小量 2.4、无穷小与无穷大,无穷小的比较 3、无穷小的比较 当 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 为 时的无穷小 量.简称无穷小 3、常数与无穷小的乘积是无穷小 . 4、有限个无穷小的乘积是无穷小 . 无穷小运算法则 1、有限个无穷小的代数和还是无穷小 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 其中? 为 时的无穷小量 . 注： 时结论也成立。 定义2 . 若 时 , 函数 的绝对值无限增大， 为 时的无穷小大量.简称无穷大 则称 记为： 2.4.2无穷大 3、无穷大与无穷小之积仍为无穷大 无穷大的性质 1、有界变量与无穷大之和仍为无穷大 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2.2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 解(由无穷小与无穷大的关系) x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 因 2.4.3、无穷小的比较 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 定义2.11： 设 ? , ? 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 ? 是 ? 的高阶无穷小，记作?=0（? ） ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小，记为?~? ? 是 ? 的 k 阶无穷小 定理2.3(等价无穷小替换定理) 证 * * * * 按某种规律以正整数编号排列的一列数 记作 称为数列。 知识回顾 2、数列极限的定性描述 一个确定的常数A, 增大时的极限， 收敛于a 或称数列 记为 或 则称常数A为数列 当n无限 若当n无限增大时, 或称数列发散 则称数列 的极限不存在， 几个常用极限 自变量变化过程的六种形式: 沿x轴的正向与负向同时无限远离原点 沿x轴的正向无限远离原点 沿x轴的负向无限远离原点 x从x0点的左侧趋向于x0 x从x0点的右侧趋向于x0 x从x0点的两侧趋向于x0 函数极限主要讲两个内容: 1、自变量趋于无穷大时函数的极限 2、自变量趋于有限值时函数的极限 由极限的直观定义可知 所以f（x）= 的极限是0 记为： 例：当 时，研究f（x）= 的极限。 2、自变量趋于有限值时函数的极限 函数的左右极限的定义 函数的左右极限统称为单侧极限 记作： 记作： 函数的左右极限的定义 定理： 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 结合图示法 .因为 显然 所以 不存在 . 讨论分段函数在 分段点处的极限时， 当分段点两侧函数 表达式不同时，要 用左右