电子科技大学随机过程覃思义第一章1sjgc1.2.pptVIP

随机变量及其分布 电子科技大学 §1.2 随机变量及其分布 一、随机变量 定义1.2.1 设(Ω,F, P)是概率空间, X(ω)是定义在Ω上的单值实函数, 若对于任意实数x∈R, 有 称X(ω)是随机变量. 可测空间(Ω,F)上的可测函数. 电子科技大学 X是概率空间(Ω,F, P)上的随机变量,有 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, ω X Ω x=X(ω) 随机变量X可理解为从样本空间Ω到实数集RX的一个映射. 电子科技大学 注 由随机变量定义及σ代数性质, 有 使P{X≤x}总有意义. 电子科技大学 二、分布函数 定义1.2.2 设X(ω)是定义在概率空间(Ω, F, P)上的随机变量, 令 称F(x) 为X 的分布函数. 性质 1) F(x)是单调不减函数； 电子科技大学 3） F(x)是右连续函数, 即对 证3）由于F(x)单调不减，根据单调原理 仅需证,对任意的x∈R, 有 电子科技大学 ) …… ) ) x x+1/2 x+1 事件列 单调下降趋于{X≤x},由概率 的连续性知性质3成立. 电子科技大学 三、二维随机变量 定义1.2.3 如果X和Y是定义在同一概率空间(Ω, F, P)上的两个随机变量, 称(X,Y )为二维随机变量(向量). 如何准确理解“维”的含义? 如何理解“定义在同一概率空间” ? 思考: 电子科技大学 有唯一(X(ω),Y(ω))与之对应. ω Ω x=X(ω) y=Y(ω) (X,Y)是概率空间(Ω,F, P)上的随机向量. 电子科技大学 Ex.1 随机试验E:检查n个学生的健康情况，{i}表示抽检到第i名学生，记样本空间为 对于样本点 可定义 身高： 体重： 身高X与体重Y构成定义在(Ω, F)上的二维随机变量(X, Y). EX.2 先抛一枚均匀硬币, 再掷一颗均匀硬币骰子试验的样本空间为 电子科技大学 Ω=Ω1×Ω2={(ω1,ω2) , ωi ∈ Ωi i=1, 2} 对 ω= (ω1, i) ∈Ω, ω1= H, T, i=1,2, …,6. 定义二维随机变量 (X(ω),Y(ω)) = ω1 =T， ω2=i ； ω1 =H， ω2=i ； 电子科技大学 定义1.2.4 设(X, Y) 是定义在(Ω,F, P)上的随机向量,对 称为(X, Y)的联合分布函数. 注: 由(X,Y)的分布可确定X, Y 各自的分布,反 之不行. 电子科技大学 1) F(x, y)分别对x 和y 单调不降； 2) F(x, y)对每个变元右连续； 定理1.2.1 若F(x, y)是联合分布函数,则有 电子科技大学 注 1) 此定理的逆成立； 2) 可以推广到任意有限维的情形； 3) 分布函数与概率空间(Ω,F, P)的概率 一一对应. 电子科技大学 四、条件分布 定义1.2.5 设(X,Y)的联合分布函数为F(x, y)，记 若极限存在，称为在X=x 的条件下,随机变量Y的条件分布函数. 电子科技大学 需满足对 注 离散型随机变量(X,Y), 在y = yk 条件下X的条件 分布函数为 电子科技大学 称为在y = yk 条件下X的条件分布律. 电子科技大学 P{X= i，Y=j}= p2(1－p) j－2 , ( 1≤i＜j＝2,3, …) 解 1 2 … i … j 例3. 某射手进行射击，击中目标两次则停止射击, 每次的命中率为p (0＜p＜1), 令X 表示第一次命中目标时的射击次数，令Y表示第二次命中目标时的射击次数，求条件分布律 电子科技大学 当 j＝2, 3, …时，条件分布律存在 电子科技大学 连续型(X, Y),有 为在X=x条件下, 随机变量Y 的条件密度函数. 电子科技大学 例4 设随机变量(X, Y)在D上服从均匀分布 试求 fX|Y(x|y) 和fY|X( y|x) . 解： x y 1 1 2 0 x＋— =1 2 y f(x,y)的非零区域 电子科技大学 x y 1 1 2 0 x＋— =1 2 y f(x,y)的非零区域 电子科技大学 当0＜x＜1 时 x y 1 1 2 0 x＋— =1 2 y f(x,y)的非零区域 当|y|＜2 时 电子科技大学 Ex.4已知X～ ,给定X=x 的条件下,Y的条件分布为 ,求Y的分布及给定Y= y 的条件下X 的条件分布. 解