离散数学图的矩阵表示.pptVIP

7.3 图的矩阵表示 无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 有向图的邻接矩阵 有向图的可达矩阵 无向图的关联矩阵 上图G的关联矩阵: 无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 上图G的关联矩阵: 有向图的关联矩阵(续) 有向图的邻接矩阵 解 上图G的邻接矩阵。 有向图的邻接矩阵 D中的通路及回路数 D中的通路及回路数(续) 例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题： (1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？ (2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？ 例(续) 长度 通路 回路 解:因为 所以，由v1到v3长度为1、2、3、4的通路分别有0、2、2、4条，G中共有长度为4的通路43条，其中回路11条，长度小于等于4的通路共有87条，其中回路22条。 注 无向图也有相应的邻接矩阵，一般只考虑简单图，无向图的邻接矩阵是对称的，其性质基本与有向图邻接矩阵的性质相同。 有向图的可达矩阵 有向图的可达矩阵(续) 例 右图所示的有向图D的可达矩阵为 * * 定义 设无向图G=V,E, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G). 例:求下图G的关联矩阵 性质： （5） 当且仅当vi为孤立点。 定义 设无环有向图D=V,E, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 则称(mij)n?m为D的关联矩阵，记为M(D). 例: 求图G的关联矩阵。 性质 (4) 平行边对应的列相同 定义 设有向图D=V,E, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，称( )m?n为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 求下图G的邻接矩阵。 给出了图G的邻接矩阵，就等于给出了图G的全部 信息。图的性质可以由矩阵 A通过运算而获得。 定义 设有向图D=V,E, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，称( )m?n为D的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 性质 定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l?1)中 元素 为D中vi到vj长度为 l 的通路数， 为vi到自身长度为 l 的回路数， 为D中长度为 l 的通路总数， 为D中长度为 l 的回路总数. 推论 设Bl=A+A2+…+Al(l?1), 则Bl中元素 为D中长度小于或等于l 的通路数， 为D中长度小于或等于l 的回路数. 合计 50 8 1 8 1 2 11 3 3 14 1 4 17 3 在下图中v1到v3长度为1、2、3、4的通路分别有多少条，G中共有长度为4的通路多少条，其中回路多少条，长度小于等于4的通路共有多少条，其中回路多少条。 例如:下图邻接矩阵为： 称(pij)n?n为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 定义 设D=V,E为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令