最佳一致逼近多项式.pptVIP

3.2 最佳一致逼近多项式 一、最佳一致逼近多项式的存在性 在度量标准 下，求? (x) ，使 即在H中? (x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中 任一ψ (x)与f(x)之差的绝对值都比它大，这样的? (x)为 f(x)在H中的最佳一致逼近函数。 （达到最小），这就是最佳一致逼近（不要产生最大误差，均匀一些），通常仍 然取? (x)为多项式，即求多项式? (x)使残差： 绝对值的最大值 达到最小。 在H中求满足? (x) （f 的逼近函数? (x) ）： 二、Chebyshev定理 推论2 设f(x)?C[a,b]，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项 式Pn(x)，就是f (x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插 值多项式。 证明∵Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f (x) －Pn (x)在[a,b]上至少有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x) ?Pn(x)=0在[a,b]上有n+1个根?存在n+1个点：a ? x0… xn ? b使f (xi) ?Pn (xi)=0  即：f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,…,n) , 所以，以此作为插值条件可得到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项式 。 切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征， 并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法： 三、最佳一致逼近多项式 x1 x2 M m y1 y2 X Y O P0(x) 1.零次最佳一致逼近多项式 对于n=0的P0(x)有： P0(x) =(M+m)/2  其中M、m分别为f (x) 的最大值和最小值。 ∵f(x)?C[a,b]，由闭区间上连续函数性质；在[a,b]上存在两点x1,x2使f (x1)=M, f (x2)=m， 即：x1,x2为偏差点（负,正）使： 2.一次最佳一致逼近多项式 对n=1的最佳一致逼近多项式P1(x)有：  设f(x)在[a,b]上二阶可微，且f ?(x) 在(a,b)内定号，下面求P1(x)=a0+a1x . 如图所示， 是一条与(0,0)，(1,1) 的直线。 两点联线及 的与这条联线平行的 切线等距 X Y 1 0.5