第1章函数与极限.pptVIP

111 高 等 数 学复习函数与极限 第1章 函数和极限 主要内容: 一、函数 二、极限 三、函数的连续性 一、函 数 （一）函数的概念 2、函数的概念 关于函数定义的几点说明： （二）函数的几种特性 2、函数的单调性 3、函数的奇偶性 4、函数的周期性 5、函数的有界性 （三）复合函数 复合函数的求解难点：合成与分解 （四）初等函数 分段函数： 有些函数，对于其定义域内自变量不同的值， 不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。 二、极 限 （一）极限的概念 比如： 讨论： （二）极限的四则运算 （三）两个重要极限 （四）无穷小量与无穷大量 讨论： 2、相关定理 三、函数的连续性 （四）初等函数的连续性 （五）闭区间上连续函数的性质 88 微积分学所研究的函数主要是连续函数。 我们现在要研究的就是用极限来描述 函数连续的定义。 88 当我们把函数y=f(x)用它的图像来表示时，就 会发现有的函数曲线的大部分是连续不断的， 只是在某些地方是断开的。例如： -1 1 0 y x 函数在x=0是断开的，在[-1，1]的 其它地方是连续不断的。 88 1、函数的增量 ★说明 （一）函数的连续性 88 88 88 2、函数连续性的概念 88 88 因为 总成立，因此有： 上式表明：连续函数求极限时，极限符号 可以和函数符号交换次序。 88 88 88 （三）函数的间断点 88 88 第一类间断点包括三种情况： 以上两种情况称为可去间断点(令 ) 88 第二类间断点：除第一类间断点之外的间断点； 或者说左右极限中至少有一个不存在的间断点。 包括无穷间断点和振荡间断点。 88 88 88 88 求 和 的极限。 结论：二者定义域不同，但是极限相等， 都为2。所以，函数在无定义的点的极限 值可能存在，要区别求极限与求函数值。 88 88 ★说明 88 88 例7 求 解： 88 例8 求 时 解：因为分母的极限为零，所以不能直接用定理 1.1的结论。注意到分子分母都有公因式 ，可以约去这个不为零的公因式， 而 所以 88 例9 求 即极限都不存在，因此，不能直接用定理1.1的 结论。将分子分母都除以 解：当 ，得 时，分子分母都趋近于无穷大， 88 例10 求 ，得 解：将分之分母同除以 因为 所以 88 例11 求 解： 当 时， 、 的极限都不存在， 所以不能直接用定理1.1来求解。将被求极限的 函数作恒等变形： 88 解：分段函数分段点左、右的函数解析表达式不 同，因此在求分段函数分段点极限的时候一定要 考虑其左、右极限。 例12 设 为常数)，求 ( 的值，使 存在。 88 88 （1） （2） 或 其中 是一个无理数。 88 例13 求 ( 为非零常数)。 88 例14 求 解： 88 例15 求 88 为不为零的常数)。 例16 求 ( 88 例17 求 解： 88 1、定义 88 88 ★注意 88 88 对比无穷小量与无穷小的量， 二者是一个概念吗？ 结论： 无穷小量是绝对值可以任意小的量； 而无穷小的量是其值可以任意小，但实际上 是绝对值可以任意大的负值，比如： 当 时就是可以任意小的一个负值。 88 ★说明 88 ★说明 88 88 88 88 88 3、无穷小的比较与阶 88 无穷小的比较与阶 88 * * * 88 88 88 1、变量与常量 常量：在某一过程中保持一定数值的量，常用字母a,b,c，…来表示； 变量：在某一过程中可以取不同数值的量，常用字母x,y,z, …来表示。 ★注意：常量与变量并非是绝对的 88 设x和y是同一变化过程中的两个变量，如果对 于变量x的每一个允许的取值，变量y按照一定 规律总有一个确定的值与之对应，则称变量x 是变量y的函数，变量x称为自变量， y又称为 因变量，记为：y=f (x) 值 域：所有函数值的集合称为函数的值域 定义域：自变量的所有允许值的集合称为函数 的定义域，通常用区间来表示 88 （3）函数常用的表示法： （1）构成函数的要素有两个：定义域与对应规律 如果函数的定义域相同，对应规律也相同，那么这两个 函数就是相同的，否则就是不同