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第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 从几何上看， 一、函数在一点的连续性 2. 连续的等价定义 实际上，不必把增量看成是一个新的数学概念， 他须要研究的是与增量 ?x 相应的增量 ? y 的关系. 等价定义1 等价定义 2 例1 3. 左右连续 f 在点 x0 既是右连续, 又是左连续. 从而它在 x = 0 不连续(见图4-1). 间断点的分类 间断点的分类 三、区间上的连续函数 思考题 * * 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 一、函数在一点的连续性 二、 间断点及其分类 三、区间上的连续函数 首页 × §1 连续性概念 §2 连续函数的性质 §3 初等函数的连续性 在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的函数值与极限值是两个不同的问题 . 它们的关系有 函数值不存在，极限存在； 函数值、极限值都存在，但不相等； 函数值等于极限值. 可用代入法求极限 什么样的函数可用代入法求极限？ 函数连续的概念 当自变量时间 t 变化无限小时，这些规律变量的变化也无限小. 如气温随时间的变化规律、有机体随时间的生长规律等变量. 首页 × 客观世界中许多量的变化都是循序渐进的. 这种连续变化的特点是： 如何在数学上刻画出变量对应关系的这种变化特征？ 对变量这种变化特征的研究产生了连续函数概念. 有些函数图像上的点连绵不断，构成了函数曲线一种 “连续”(不间断)的外观 . 首页 × y 0 x x0 要准确地把握曲线这些“连续”与“间断”的情况，需要精确的数学描述. 若要曲线连绵不断，就要曲线在其每一定义点 x0 都能连接起来. 可用极限概念描述 如何描述？ y=f (x) . . 首页 × 则称 f 在点 x0 连续. 设函数 f 在某U (x0 )内有定义, 1.定义1(P69) 若 例如, 函数 在点 x = 2 连续， 因为 又如, 函数 连续, 因为在点 x = 0， 注1 函数 f 在点 x 0 连续， 则 x 0 必属于 f 的定义域 . y 0 x 自变量 x 在该邻域内， 变形： 称差 x - x0 为自变量 x 在点 x0 的增量或改变量， 先介绍一个用来描述变量变化的概念 ——增量. 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域内有定义， 称函数值之差 f ( x0 + ?x ) - f (x0)为 函数 f (x)在点x0 对应于自变量的增量?x 的增量或改变量. y +? y y x0 x 记为 ? y， 注2 增量是可正可负的， 记为Δx， 即 即 ? f (x) = f (x0) + ? y . . 可用增量描述变量. 我们规定自变量的增量 . ?x ? y y = f (x ) 且 首页 × 0+?x 在 x0的基础上调整?x时，市场的反应(销售的增减量)如何？ 它只是表示变量的一个新的记法. 用它来描述变量的变化是分析函数的一个十分重要角度. 特别是在研究函数在一点附近的变化时，增量的记法具有特殊的重要性和优越性. 例如，设变量 y — 某商品销售量，x — 该商品价格. 在一定条件下，x与 y 的关系可用价格——销售函数来描述 . 作为销售经理虽然关心价格