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第2章 连续控制系统的机理建模 吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶 主要内容 概述 微分方程及线性近似 框图模型及传递函数 状态变量模型 各种模型间的转换 系列设计举例 2.1概述 为了理解和控制复杂系统，必须获得这些系统量化的数学模型，而此过程就称为建模。系统建模主要有三种方法： 机理建模 ：即“白箱”建模，利用系统的具体结构和其所遵循的内在规律(物理的、化学的规律等)经严格的推导而获得最终数学模型的方法 。 辨识建模 ：即“黑箱”建模，利用实验的方法或者通过系统正常运行而获得其输入、输出的数据，从而采用能近似替代的模型 。 “灰箱”建模：上两种的结合。 机理建模的表达形式（一） 微分方程表述方式 ：由于所涉及的系统从本质上来说是动态的，因此可以用微分方程来描述它们。 传递函数表述方式 ：如果微分方程可以线性化，就可以利用拉普拉斯变换来处理，得到在初始松弛条件下定义的传递函数，它充分体现了系统的固有属性而与具体输入信号无关。经典控制理论中是以它为核心对系统进行研究的。 机理建模的表达形式（二） 框图表达方式：不能独立地对系统进行分析或综合，但由于其具有极强的直观性，因而也作为一种模型方式。 状态方程表达方式：它是状态变量的一阶导数方程组。由于所选的状态变量不同，同一系统的状态方程可能是不同的，但其最终结果是一致的。 解决动态系统问题的方法 1.定义系统及其组成部分； 2.建立数学模型并列出相关假设； 3.写成描述模型的微分方程； 4.解方程，并获得所需的输出变量； 5.研究所求的解和假设； 6.如果有必要，重新分析或重新设计系统。 2.2.1微分方程 系统微分方程的建立步骤： 1.列写原始方程组 2.解原始方程组 3.化成标准形式 设系统的输入变量为r(t)，输出变量为c(t)则系统微分方程具有一般形式为： 建立系统微分方程举例 例2.1系统如图所示。其中k为弹簧的刚度系数；f为阻尼器的粘性摩擦系数；m为物体的质量；F(t)为外施力；c(t)为物体的位移。忽略物体滑动摩擦力。求输出c(t)与输入F(t)的微分方程。 解题过程 解题过程（续） 2.2.2物理系统的线性近似 大部分的物理系统在变量的一定范围内是线性系统。然而，当变量无限增多时，所有的系统最终都变成非线性系统。 对于弹簧－质量－阻尼器系统，小偏移y(t)作用在质量上时，系统是线性的，如果y(t)不断增大，弹簧最终将失去弹性而折断。因此，必须考虑到每个系统的线性化的问题及应用范围。 工作点附近的泰勒展开 工作点附近的泰勒展开（续） 线性近似举例 例2.2摆模型：考虑图(a)所示的摆，质量上的力矩为 线性近似举例（续1） 多变量线性近似举例 例2.3在下列范围：5≤x ≤7， 10≤y ≤12，对非线性方程进行线性化：z=xy，当x=5， y=10时，如果利用线性化方程计算z值，求其误差。 多变量线性近似举例（续1） 2.3框图模型及传递函数 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出的拉氏变换和输入的拉氏变换之比称为该系统的输出和输入间的传递函数。 初始条件为零有两层含义：其一是输入信号是在研究的时刻(0+)才加入的，其二是输出在研究时刻之前(0-)是静止的或称为平衡状态。 框图的基本要素和基本连接（一） 框图的基本要素和基本连接（二） 框图的基本要素和基本连接（三） 2.3.1系统框图的建立 根据所给系统的联接方式和各部分的物理规律列写原始方程组。 将原始方程组进行拉氏变换。 对每个方程指定其输出变量并画出其对应的子方框图。 将各子方框图联接成总方框图。 框图建立的例子 例2.4制作例2.1的系统框图 框图建立的例子（续1） 框图建立的例子（续2） 简单伺服系统举例 简单伺服系统举例（续1） 简单伺服系统举例（续2） 简单伺服系统举例（续3） 简单伺服系统举例（续4） 简单伺服系统举例（续5） 简单伺服系统举例（续6） 2.3.2梅森公式 框图对表示输入和输出变量之间关系已经足够了，但相互关系比较复杂的系统，框图的化简工作任务繁重，甚至难以完成。 梅森公式是梅森在创建信号流图中提出的求取传递函数的方法，由于信号流图和框图并无本质的差别，故本课程以框图的形式进行介绍。 2.3.2.1基本概念 回路和回路增益 ：在框图中由任何一点出发，沿信息流动方向(箭头所指方向)经过不重复的路径(每点仅经过一次)回到该点，则该路径称为一个回路。该回路所经过的各增益、比较环节符号之积称为该回路的增益。 互不接触回路及其增益：如果两个回路没有任何公共点称为两个回路之间互不接触，简称两个互不接触回路。两个互不接触回路各回路增益之积称为两个互不接触回路增益。同理三个回路之间均无公共点称为三个互不接触回路，其各回路增益之积称为三个互不接触回路增益。以此类推。