3.2模糊聚类分析.ppt

模糊聚类分析 一. 数据规格化; 二. 构造模糊等价矩阵. 数据规格化 常用的数据规格化方法有如下几种: 1. 数据标准化 (i) 对特性指标矩阵U*的第j列,计算 (ii) 作变换 则以u?ij作为元素的特性指标矩阵就是数据规格化的特性指标矩阵,记作 U* =(u?ij)n×m 构造模糊等价矩阵 设被分类对象的集合为 U={u1,u2, …, un}, 每一个对象ui有m个特性指标(即反映对象特征的主要指标),并记 ui ={ui1,ui2, …, uim}, i =1,2,…,n 其中uij表示第i个对象的第j个特性指标,则n个对象的所有特性指标构成一个矩阵,记作 称U*为U的特性指标矩阵. 构造模糊相似矩阵 设数据u?ij (i =1,2,…,n; j =1,2,…,m)均已规格化,下面用多元分析的方法来确定对象ui=(ui1, ui2,…, uin)和uj =(uj1, uj2,…, ujn)之间的相似程度 rij =R (ui, uj)?[0,1], (i =1,2,…,n; j =1,2,…,m) 从而构造出一个对象与对象之间的模糊相似矩阵 2.距离法 设d(ui, uj)表示对象ui和uj的距离, 则d(ui, uj)越大, rij就越小, 而d(ui, uj)越小, rij就越大。 一般地, 可取 rij=1－d(ui, uj) 在实际应用中, 常采用如下距离来确定rij. 3. 贴近度法 当对象ui=(ui1, ui2,…, uim)为模糊向量(即uik∈[0,1])时, ui与uj的相似程度rij可由如下方法确定 (1) 最大最小法 (2) 算术平均最小法 (3) 几何平均最小法 模糊关系的传递性 定义: 设R∈F(U×U),则 (1) R称为传递的,如果R ? R ? R (2) 称包含R的最小的传递模糊关系为R的传递闭包,记作t(R). 定理设U={u1,u2, …, un}, R∈F(U×U), 则 若R是自反的, 则?m≥n,有t(R) = Rm 由此可见,当R为自反模糊关系时,必有自然数m≥n, 使t(R)=Rm 下面介绍一种快速求m的方法------平方自合成法 : 第一步: R ? R = R2 ? R ,则t(R)=R ;否则,进行如下第二步. 第二步: R2 ? R2 = R4 ? R2 ,则t(R)=R2 ;否则,进行如下第三步. 第三步: R4 ? R4 = R8 ? R4 ,则t(R)=R4 ;否则,进行如下一步,如此继续下去,必有自然数k ,使2k-1 n ≤ 2k且 R ? R2 ? R4 ?…? R2k = t(R) 即对于n阶自反模糊矩阵,至多只需进行k=[log2n]+1步平方合成运算就可达到t(R),因此,可取 m= 2k , k= [log2n] +1 这里[log2n]表示不超过log2n的最大整数. 例如 当n =30时,至多只需平方合成5次便可达到目的. 例2 设 解: 由题设知特性指标为污染物在空气、水分、土壤、作物这四个要素中的含量.其特性指标矩阵为 (1) 数据规格化 采用最大值规格化, 作变换 把U*规格化为 (3) 利用平方合成法求t(R) 因为 而R8 = R4 ,所以 (4) 选取适当的置信水平值?∈[0,1], 按?截矩阵进行t(R)?动 态聚类 首先把t(R)中的元素从大到小排序为 10.700.63 0.62 0.53 ①取?=1,得 根据分类原则, U被分成五类: {u1 }, { u2 }, { u3 }, { u4 }, { u5 }. ②取?=0.70,得 因为 根据分类原则, U被分成四类: {u1 }, { u2 , u4 }, { u3 }, { u5 }. 将所有相似的类合并成一类,即得等价类为: { u2 , u4 },{u1 }, { u3 }, { u5 }. 取?=0.63, 因r14= r41 =0.63,故得相似类为 { u2 , u4 },{u1 , u4}, {u1