5、全等三角形经典题目.doc

三角形全等 例5、如图，已知线段AB∥CD，AD与B C相交于点K，E是线段AD上一动点若平分当AE= ADAB、BC、CD三者之间有怎样的等量?请写出你的结论并予以证明． 边形ABCD…X”，请你作出猜想：　当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）　　 　　考点：考查三角形全等知识，辅助线的做法.　　解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°, 　　 　　　　∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°　　 在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN　　　（2）仍然成立．　　 　　在边AB上截取AE=MC，连接ME 　　　∵△ABC是等边三角形，　　 　　∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，　　 　　　　∴∠ACP=120°．　　 　　∵AE=MC，∴BE=BM 　　 　　　　∴∠BEM=∠EMB=60°　　 　　∴∠AEM=120°． 　　 　　　　∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，　　 　　∴∠AEM=∠MCN=120° ∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM　　 　　∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN （3）1、如图1，2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F． （1）如图1，当点E在AB边的中点，N为AD边的中点位置时： ①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是________________； ②请证明你的上述猜想． （2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的结论． 解：（1）①DE=EF； ②证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点， ∴DN=EB=AN=AE， ∴△AEN为等腰直角三角形， ∴∠ANE=45°， ∴∠DNE=180°-45°=135°， ∵BF平分∠CBM，AN=AE， ∴∠EBF=90°+45°=135°， ∴∠DNE=∠EBF， ∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°， ∴∠NDE=∠BEF， ∴△DNE≌△EBF， ∴DE=EF； （2）DE=EF， 证明：连接NE，在DA边上截取DN=EB， ∵四边形ABCD是正方形，DN=EB， ∴AN=AE， ∴△AEN为等腰直角三角形， ∴∠ANE=45°， ∴∠DNE=180°-45°=135°， ∵BF平分∠CBM，AN=AE， ∴∠EBF=90°+45°=135°， ∴∠DNE=∠EBF， ∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°， ∴∠NDE=∠BEF， ∴△DNE≌△EBF， ∴DE=EF． 2、如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 解：（1）AB=AP； ABAP. （2）BQ=AP； BQAP. 证明：EF=FP，EFFP，