Borda_排序法.ppt

* 计 数 法 BORDA 计数法是最早由Jena-Charles de Borda提出的一种经典的投票表决法，即排序式 的投票制度。其方法是在投票时不仅要让投票人 表达最希望哪些人当选，还应当让投票者给这些 心目中合格的候选人进行排序。也就是，投票人 通过投票表达出对各候选人的偏好次序。 然后对候选人从高到低进行评分并累加 ，得 分最高者最终获胜。 一、简介 二、评分法则 设有n个投票者，p个候选人 如果一个投票者的偏好次序为： 则候选人 的得分依次为 这样，每个候选人都有各个投票者的评分，分别 累加，得到各人的总评分，按高低依次排序即可。 当然，这个分值也是可以适当调整的。 例1：55位记者要在五支球队的提名代表(记为A、B、 C、D、E)中确定一位最有价值球员。现在要求每位 记者都对他们的偏爱对五名提名候选人进行排序。 55名记者的偏爱次序是： A A A A A B 第五选择 B C B D C C 第四选择 D D E E D E 第三选择 C B C B E D 第二选择 E E D C B A 第一选择 ?2 4 9 10 12 18 记者人数 解： A: 5×18+1×(12+10+9+4+2)=127分； 即用BORDA计分法分析，五位球员的排序为： D、E、C、B、A。 也就是说，D为最有价值球员。 B: 5×12+4×(10+4)+2×(2+9)+1×18=156分； C: 5×10+4×(9+2)+2×(18+12+4)=162分； D: 5×9+4×18+3×(12+4+2)=2×10=191分； E: 5×(4+2)+4×12+3×(18+10+9)=189分。 三、数学模型 为了方便计算，下面建立一个统一的数学模型： 设有m个投票者，n个候选人，则有n!种偏好顺序。 对第k个投票者，记 若 i = j，则取 构造第k个投票者的偏好矩阵： 则第k个投票者给第i个候选人的BORDA评分为： 由此构造所有投票者对所有候选人的投票评分矩阵： 所有投票人对第i个候选人的累计评分为： 练习：一个班上有50名同学，要在4个候选人（A,B, C,D)中选一个班长。有一名同学弃权，其余49名同 学的偏好次序如下： 认为 认为 认为 认为 有18人； 有12人； 有10人； 有9人。 （1） 用BORDA计分法分析谁应当选。 （2）思考一下，BORDA评分法有什么问题。 四、方法改进 在练习中若采用 BORDA方法，以4分、3分、2分、 1分记排第一、第二、第三、第四，则各候选人的 得分为： A :　4×18＋1×31=103； B :　1×18＋4×12＋3×10＋2×9=114； C :　2×(18＋12)＋4×10＋3×9=127； D :　3×(18＋12)＋2×10＋4×9=146。 D 会获最高分而当选。 很容易看出BORDA法仅仅考虑到所有候选人的 完全偏好序，并不能反应投票者偏好的完备信息 ( 如 偏好强度)。如果实际情况是，对于39个把D 排在C 前面的人都认为D 和C的差别不大，而其他10个人却 认为C 远远优于D ，这样看来BORDA方法的合理性 值得怀疑。 怎么改进使之更加合理呢？ 由所有投票者对所有的候选人评分，分值在[0,1] 区间自由确定，如果对其偏好强，评分就高；如果偏 好弱，评分就低。 这样，投票者就有更高的评分自由度，并且不丢 失偏好信息。 一般意义上的选举和以上问题类似。选举就是在 公平的意义下，将社会个体对各项政策的偏爱和意向 给出一个最好的排序。任何选举结果的公平性首先体 现在，不管采用的是什么选举方法，选举结果在某种 程度上至少代表了相对多数选举人的意愿。那么，有 没有一个是的全社会都满意的最公平的选举办法呢？ BORDA 计分法是一种易于量化的选举方法。它 一定能保证公平吗？ 我们用一个例子来说明。 例2：某赛马场购得红玉、白雪、如意、飞驹四种 良马，业主为了对它们进行估价，决定让它们进行 四次比赛，使用波达计分法，成绩如下所示： 第四 第三 第二 第三 飞驹 第一 第一 第四 第四 如意 第二 第四 第一 第二 白雪 第三 第二 第三 第一 红玉 4? 3 2 1 如果用3分、2分、1分、0分来记第一、第二、 第三、第四，我们可以算出各自分数： 红玉：3+1+2+1=7； 白雪：2+3+0+2=7； 如意：0+0+3+3=6； 飞驹：1+2+1+0=4. 结果是红玉和白