2017春人教版高中数学必修五课件：2.5 第1课时 等比数列的前n项和4.ppt

(2)涉及Sn，S2n，S3n，…的关系或Sn与Sm的关系考虑应 用以下两个性质 ①等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n-Sn， S3n-S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠-1). ②等比数列{an}的公比为q，则Sn+m=Sn+qnSm. (3)等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但利用通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法. 【变式训练】设正项等比数列{an}的首项a1= ，前n项和为Sn，且210S30-(210+1)S20+S10=0，求数列{an}的通项公式. 【解题指南】解答本题的关键是应用S30-S20=q10(S20-S10)简化运算. 【解析】由已知得210(S30-S20)=S20-S10， 即210·q10(S20-S10)=S20-S10. 因为an0，所以S20-S10≠0，所以210·q10=1， 所以q= .从而an=( )n(n∈N*). 【补偿训练】1.已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=40，a4+a5+a6=20，则前9项之和为________. 【解析】S3=a1+a2+a3=40，S6-S3=a4+a5+a6=20， 所以S9-S6=10，所以S9=(S9-S6)+(S6-S3)+S3 =10+20+40=70. 答案：70 2.等比数列{an}前8项的和为24，前16项的和为36，则前24项的和为________. 【解题指南】利用数列前8项、第2个8项、第3个8项的和成等比数列求解. 【解析】因为在等比数列{an}中，连续n项的和仍组成等比数列(这连续n项和必须非零才能成立)， 所以S8，S16-S8，S24-S16成等比数列. 所以(S16-S8)2=S8·(S24-S16)，所以S24=42. 答案：42 巧思妙解 用等比数列前n项和公式的函数特征解题 【典例】(2015·深圳高二检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·2n-1+1，则实数t的值为__________. 【常规解法】因为a1=S1=t+1，a2=S2-S1=t，a3=S3-S2=2t， 所以由{an}是等比数列知t2=(t+1)·2t，显然t≠0，所 以t=-2. 答案：-2 【巧妙解法】 Sn=t·2n-1+1= ·2n+1， 因为等比数列{an}的前n项和Sn=-A·qn+A， 其中q为公比，所以 +1=0， 所以t=-2. 答案：-2 【方法指导】等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当q=1时，Sn=na1是关于n的正比例函数. (2)当q≠1时，Sn=-A·qn+A是关于n的一个指数式与一 个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数， 且A= (2)当q=1时，等比数列是常数列，所以Sn=na1； 当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式. 当已知a1，q与n时，用Sn= 比较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn= 比较方便. 【补偿训练】设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn. 【解析】设数列{an}的公比为q，由题设得 当a1=3，q=2时，an=3×2n-1，Sn=3×(2n-1)； 当a1=2，q=3时，an=2×3n-1，Sn=3n-1. 【延伸探究】 1.(变换条件)若将本题条件“a2=6，6a1+a3=30”改为 “a1+a3=10，a4+a6= ”，则结果如何？ 【解析】设公比为q， 由已知得 即 ②÷①得q3= ，即q= ， 将q= 代入①得，a1=8， 所以 2.(变换条件、改变问法)若将本题条件“a2=6， 6a1+a3=30”改为“4a3-a6=0”，试计算 . 【解析】由4a3-a6=0得q3=4， 所以 类型二 利用公式构建方程(组)求关键量 【典例】1.(2015·全国卷Ⅰ)数列{an}中a1=2，an+1=2an， Sn为的前n项和，若Sn=126，则n=_____________. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=S9，求数列 {an}的公比q的值. 【解题探究】1.典例1中，数列{an}是等比数列吗？求n的基本思路是什么？ 提示：由an+1=2an确定数列{an}为首项a1=2，公比q=2的等比数列.根据Sn=126列方程求n. 2.典例2中，是否可以直接利用公式Sn= 根据条件S3+S6=S9转化为关于q的方程求解？ 提示：不可以.应分q=1和q≠1两种情况讨论. 【解析】 1.因为 =2，所以数列{an}是首项a1=2，公比q=2的 等比数列，Sn= =126，即2n+1=128