理论力学10—质点动力学基本方程1.ppt

炮弹运动轨迹图 飞机空投物体速度大小随时间的变化 例9: 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为 r 为1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。 o 解：取质点为研究对象 由（2）式解得： 代入（1）式得： 当： 同理，当： 数值方法给出质点位置、速度和切向加速度随时间的变化规律 o t(s) y x o v mg 思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比 y x o v mg E: 未给出正确答案 * * 动力学引言 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。 质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。 刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。 动力学基本定律 质点运动微分方程 质点动力学的两类基本问题 10 质点动力学基本方程 牛顿及其在力学发展中的贡献 牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。 1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。 ★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。 10.1 动力学的基本定律 第一定律(惯性定律) 　　不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 　　质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。 10.1 动力学的基本定律 第二定律(力与加速度关系定律) 在经典力学中质点的质量是守恒的 质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。 质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。 10.1 动力学的基本定律 国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2 在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。 　　在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。由第二定律有 或 10.1 动力学的基本定律 必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。 第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。 10.2 质点的运动微分方程 2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影 3. 质点运动微分方程在自然轴上投影 1. 矢量形式的质点运动微分方程 10.3 质点动力学的两类基本问题 　　第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。 第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。 10.3 质点动力学的两类基本问题 1. 力是常数或是时间的简单函数 3. 力是速度的简单函数，分离变量积分 2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换 例10.1 例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。 i j v r F 解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间 t，得 质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得： 代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：