典型例题：圆的方程.doc

圆的方程典型例题 例1 圆上到直线的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆的圆心为，半径． 设圆心到直线的距离为，则． 如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又． ∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为，则， ∴，即，或，也即 ，或． 设圆的圆心到直线、的距离为、，则 ，． ∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心到直线的距离为，则． ∴圆到距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 例 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为． ∵圆心在上，故． ∴圆的方程为． 又∵该圆过、两点． ∴ 解之得：，． 所以所求圆的方程为． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即． 又知圆心在直线上，故圆心坐标为 ∴半径． 故所求圆的方程为． 又点到圆心的距离为 ． ∴点在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 例　圆上到直线的距离为的点共有（ ）． （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 分析：把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于，所以选C． 例　过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示． 分析：观察动画演示，分析思路． 解：设直线的方程为 即 根据有 整理得 解得． 例6　已知圆，求过点与圆相切的切线． 解：∵点不在圆上， ∴切线的直线方程可设为 根据 ∴ 解得 所以 即 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解． 例　自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切 （1）求光线和反射光线所在的直线方程． （2）光线自到切点所经过的路程． 分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点的对称点的坐标为，其次设过的圆的切线方程为 根据，即求出圆的切线的斜率为 或 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 或 最后根据入射光与反射光关于轴对称，求出入射光所在直线方程为 或 光路的距离为，可由勾股定理求得． 说明：本题亦可把圆对称到轴下方，再求解． 例 如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹． 分析：按常规求轨迹的方法，设，找的关系非常难．由于点随，点运动而运动，可考虑，，三点坐标之间的关系． 解：设，，连结，， 则，，是切线， 所以，，， 所以四边形是菱形． 所以，得 又满足， 所以即是所求轨迹方程． 说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法． 例 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆． 圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或． 又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．