北师大(八下)第一章三角形的证明复习(二).ppt

第一章 三角形的证明（二） --线段垂直平分线、角平分线 考点分析 考 查 意 图 　 三角形的证明是属于数学新课程标准中《图形与几何》部分的重要内容，在日常测试及中考中，常以填空、选择、证明、计算及综合题考查学生对于三角形全等、等腰三角形、勾股定理及其逆定理的掌握．试卷以双基为主，考查学生对于基本知识点的理解及基本解题思路的掌握，重点在于培养学生对几何题的分析能力和逻辑推理能力． 思想 方法 分类讨论 数形结合 1．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_______． 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的_____________上． 【点拨】线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合． 2．三角形三边中垂线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于_______，并且这一点到三角形三个顶点的距离________． 相等 垂直平分线 相等 一点 知识归纳 3．角平分线的性质定理及判定定理 性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离_________． 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边________相等的点在这个角的平分线上． 【注意】角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件． 【点拨】 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合． 4．三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离_________． 相等 距离 相等 C D 针对训练 3．下列说法中，正确的是(　　) A．等腰三角形一边上的中线也是这边上的高 B．等腰三角形的内角平分线的交点到三个顶点的距离相等 C．等边三角形每条角平分线都平分对边 D．直角三角形一边上的中线等于这边的一半 C 考点攻略 ?考点一　线段垂直平分线性质的应用 例1 如图1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________. 50° 【解析】 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得 EA＝EC，所以∠A＝∠ACE＝30°.又因为 ∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°. 图1－1 第一章 | 复习 [方法技巧] 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问题。同时，在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地运用线段垂直平分线的性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习中要注意到这一点！ 1.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，点E为垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（ ） 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，垂足为点D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝_____． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是 （ ） 4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于 (　 　) 例2 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC的中垂线DE于D，E为垂足，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM=CN 变式练习.如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E， Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D， 下列结论中正确的是 （1）PD=DQ （2）2DE= AC （3）2AE= CQ （4）PQ⊥AB ?考点二 ：角平分线 例题3. 如图所示，在Rt△ACB中，已知AB＝5，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°.请在△ACB的内部找一点P，使点P到△ACB三边的距离相等，并求这个距离． 变式练习1：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4 cm，求AC的长； (2)求证：AB＝AC＋CD. 变式练习2： 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足为E. (1)求证：CD＝BE； (2)若AB＝10，求BD的长． 【思想方法】 1.运用转化的数学思想：利用角平分线的性质定理可以进行等线段的转化，利用角平分线的判定定理可以进行等角的证明． 2.利用角平分线翻折，可以引导我们构造辅助线 （1）已知“角平分线+特殊点”，作该点到角两边