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高等代数与课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算
§4.2 矩阵的运算 一、加法 2．性质 二、乘法 2．性质 三、数量乘法（数乘） 2．性质： 四、转置 2．性质 3．对称矩阵、反对称矩阵 性质： 例4 A反对称，B对称．证明： * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1. 定义 设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵 C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和，记作 C=A+B． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1）交换律 A+B=B+A 2）结合律 (A+B)+C=A+(B+C ) 3） A+0=A 4） A+(?A)=0 3．减法：A ?B= A+(?B) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 结论： 对于两个同型矩阵A, B,有 R(A +B) ? R(A) + R(B) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1. 定义 设A=(aij)sn, B=(bjk)nm 记矩阵 C = (cij)sm 其中 cij=ai1b1j+ ai2b2j+…+ ainbnj 称C为矩阵A与B的积，记作 C=AB． 注意理解定义 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1 线性方程组 中，令A=(aij)sn, 则线性方程组的矩阵形式为 AX＝B Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1) 结合律 (AB)C=A(BC) 2) 交换律一般不成立 即是AB?BA 理由有三： a. 乘法可能没意义， b. 乘法有意义，但结果不是同型矩阵， c. 前二者都满足，但就是不相等。 若AB＝BA，称A与B可交换。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 分配律 A(B+C)=AB+AC (B+C) A =BA+CA 消去律一般不成立 即是若AB＝AC，不能得到B＝C。 怎样理解？在满足什么条件时，消去律成立？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 5）AsnEn＝Asn , EsAsn＝Asn 。 定义: 称主对角线上元素为1, 其余元素都为0的n级方阵为n级单位矩阵, 记为En . 问题：若AE＝EA ,是否A与 E可交换？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 6）AkAl ＝Ak+l , (Ak)l ＝Akl 定义: 设矩阵A为n级矩阵,定义A的方幂为 A1=A Ak+1= AkA 问题： (A
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