高等数学与 1 一阶微分方程.pptVIP

第二节 常见的一阶微分方程 * 第一节 微分方程的概念 第八章 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第一节 微分方程的概念 一.实例 例1. 曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程. 设曲线方程为 y = y(x), 则 例2. 质量为m的物体自由落下, t =0 时,初始位移和初速度分别为 求物体的运动规律. 设运动方程为S=S(t), 则 两次积分分别得出: 条件代入: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二. 概念 1. 微分方程: 含有未知函数的导数或微分的方程. 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例) 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程. 本章内容 2. 阶: 未知函数的最高阶导数的阶数. 例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程. n阶方程一般形式: 必须出现 3. 解: 如果将函数 y=y(x) 代入方程后恒等,则称其为方程的解. 如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同 通解 不含任意常数的解 特解 必须独立 n阶方程通解一般形式: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4. 定解条件: 确定通解中任意常数值的条件. 定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解; 定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件. 5. 几何意义: 通解 积分曲线族 特解 积分曲线 例:验证 是 的通解 对 用隐函数求导法得: 故 是方程的解, 且含有一个任意常数. 通解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第二节 几种常见的一阶微分方程 本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型. 一. 可分离变量的方程 一阶微分方程一般形式: 我们研究其基本形式: 如果可化成: (1) 则(1)称为可分离变量的方程. 解法: 1.分离变量: 2.两边积分: 3.得出通解: 只写一个任意常数 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例: 任意常数,记为C 绝对值号可省略 定解条件代入: C=2 故特解为: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二.齐次方程 如果方程(1)可化成: 齐次方程 解法: 令 化成可分离变量方程. 例: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三.一阶线性方程 一般形式: (2) (3) 一阶线性齐次方程 一阶线性非齐次方程 自由项 方程(3)是可分离变量方程, 其通解为: 方程(2)的通解 常数变易法 设(2)的通解: 代入方程(2): Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright