高等数学与--幂级数.ppt

第三节 一、 函数项级数的概念 例如, 等比级数 二、幂级数及其收敛性 定理 1 ( Abel定理 ) 定理2 例2 例3 例4 例5 三、幂级数的运算 说明: 定理4 若幂级数 例6 例7 例8 例9 例10 内容小结 答: 阿贝尔(1802 – 1829) * 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设 对 若常数项级数 敛点, 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数列, 称 收敛, 发散 , 所有 为其 发散点的全体称为其 为定义在区间 I 上的 函数项级数 . 收 所有收敛点的全体称为其 收敛域 ; 为其 发散点, 发散域 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 为级数的 并写成 和函数 , 函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是 注记： 数项级数的收敛问题. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 级数 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 由比值判别法 原级数绝对收敛. 求级数 的收敛域. 例1 1）当 时， 原级数发散. 2）当 时， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 当 时， 显然收敛; 当 时， 显然发散. 3）当 级数为 级数为 故级数的收敛域为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 形如 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的 即是此种情形. 的情形, 即 称 的函数项级数称为 幂级数, 系数 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 收敛 发散 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证 收敛, 则必有 于是存在 常数 M 0, 使 发 散 发 散 收 敛 阿贝尔 设 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之. 假设有一点 满足不等式 所以若当 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, 证毕 发散 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET