高等数学与之一--关于矩阵的习题.pptVIP

习题课矩阵 证明: (1) 所以(A-2E)可逆,并且 所以 例题:设n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明： （1）若|A|＝0，则| A*|＝0。 （2）| A*|＝|A|n－1。 证明：由伴随矩阵的定义显然有 AA*= A*A=|A|En, 两边取行列式即得 |A||A*|=det(|A|En)＝|A|n, 故当|A|不等于0时，（2）是显然的。 而只要我们证明了（1），则（2）对于 |A|＝0 的矩阵A也是成立的。下面我们证明（1）。 (反证法）假设则| A*|≠0，则A*可逆，于是在AA*=|A|En两边右乘(A*)－1,有 A＝ |A|En (A*)－1＝O（因为|A|＝0）， 因此A的伴随矩阵A*应该为O。与假设矛盾！ 例 设A为n阶方阵满足A2－A－2E＝O， 证明A和A＋2E均可逆，求它们的逆矩阵。 解: 由A2－A－2E＝O易得 (A－E)A=2E, 即 (A－E)A=E. 故由逆矩阵的定义可得A可逆，且 类似可求得(A＋2E)(A－3E)=－4E. 即 第20题 设n阶方阵A可逆,将A的第i行与第j行元素交换后得到B.(1)证明B可逆; (2)求AB-1. 解:(1) 根据已知条件,有E(i,j)A=B (*) (E(i,j)是初等矩阵) . 又A可逆, 所以A 行初等变换 E 即 Ps…P2P1=A, 代入 (*)式: E(i,j)Ps…P2P1=B, 即 P1-1P2-1…Ps-1E(i,j)-1B=E, B行初等变换 E 所以B可逆. (2) E(i,j)A=B, E(i,j)AB-1=E , AB-1=E(i,j) -1=E(i,j) 第22题 证明: 因为r(A)=r,矩阵A=(aij)m×n,则 所以 例题 设3阶方阵A= 满足 * * * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. P99 第10题 设A为n阶方阵,并且Ak=O,试证E-A可逆,并且 证明: 若n阶方阵A满足AB=E,则A可逆. 所以A-E可逆,并且(E-A)-1=E+A+A2+ … +Ak-1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第11题 设A为n阶方阵,且满足A2+2A-3E=O, 证明(1) A可逆,并求A的逆. (2)A-2E可逆,并求(A-2E)的逆. 所以A可逆,并且 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. (2) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第15题 已知为方阵B满足AB=A+B,求矩阵B,其中 解: AB=A+B, (A-E)B=A. 可以用矩阵方程的行初等变换方法计算B. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第16题 已知 且矩阵B满足A2-AB=E, 求矩阵B. 解法一: 因为A2-E=AB 所以B=A-1(A2-E). 解法二: 因为AB=A2-E 可以用矩阵方程的初等变换方法计算B. (A A2-E) 行初等变换 (E B) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第17题 设A是n阶方阵,B是n×r 矩阵,且r(B)=n. 试证:(1