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奥数长方体与正方体体积-教师讲义
长方体与正方体体积
课前练习:
一个长方体纸盒,长是24厘米,宽是12厘米,高是9厘米。它的表面积是多少平方厘米?
2、一个正方体的棱长是10厘米,它的表面积是多少?
3、强强要做一个长0.75米、宽0.5米、高1.6米的简易衣柜,需要多少平方米的木板?
一个正方体礼品盒,棱长1.2分米,包装这个礼品盒至少要用多少平方分米的包装纸?
知识点一:体积和体积单位
(1)体积的意义
物体所占空间的大小叫做物体的体积
(2)体积的单位
常用的体积单位有立方厘米(c)、立方分米(c)、和立方米()。
(3) 长方体的体积计算公式
长方体的体积公式:长方体的体积=长×宽×高
用字母表示为:V=abh(V表示体积,用a、b、h分别表示长、宽、高)
长方体体积公式的应用(重点)
一.已知长方体的长、宽、高,求长方体的体积。
例题1 一个长方体,长7cm,宽4cm,高3cm,它的体积是多少?
二.已知长方体的体积、长、宽,求长方体的高。
例题2 一个长方体的木箱,体积是240d,它的长是8dm,宽是6dm。木箱的高?
知识点二:体积和体积单位
(1)正方体的体积公式
正方体的体积=棱长×棱长×棱长,字母公式:V=(V表示体积,a表示棱长)
正方体体积公式的应用
知道棱长,便可以求出正方体的体积。
(3)长方体和正方体体积的统一公式
长方体(或正方体)的体积=底面积×高;字母公式:V=sh(用V表示体积,S表示底面积,h表示高)
长方体(或正方体)统一体积公式的应用
一.已知长方体的底面积和高,求体积。
例题 1 一个长方体的木块,横截面积是8d,长是0.7d。10个这样的木块体积一共多少?
二.已知长方体的体积和高,求底面积。
例题 2 一块正方体的方钢,棱长是20cm,把它锻造成一个高80cm的长方体模具。整个长方体模具的底面积是多少平方厘米?
知识点三:复杂立体图形的体积
(1)必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来
依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化
求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决
例题 1 一个零件形状大小如下图:算一算,它的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?(单位:厘米)
【思路导航】(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米),整个零件的体积是80×2=160(立方厘米);(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此,此零件的表面积就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。
练习1 把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。
练习2 一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?
知识点四:长方体与正方体变形求体积
将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变
两个物体熔化成一个物体后,新物体的体积是原来物体体积的和
物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积
例题 1 有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20厘米;乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?
【思路导航】 由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)×水面的高度。这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:40×32×20=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:40×32+30×24=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。
练习1 有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。问水面高多少?
练习2 有一个长方体水箱,从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米?
知识点五:长方体与正方体切割求体积
例题 1 一个棱长为6厘米的正方体木块,如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块,表面积增加多少厘米?
【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体,可以按下图中的线共锯6次,每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面,锯6次共增加36×2×6=432平
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