常微分方程 奇解与包络.ppt

本节要点：　　1.奇解的定义。　　2.不存在奇解的判别方法。　　（1）全平面上解唯一 　　（2）不满足解唯一的区域上没有方程的解 　　3.求奇解的包络线求法。　　　 满足C—判别式。　　　在非蜕化条件下，从C —判别式解出的曲线 课堂练习： 1 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴的两截距之和等于常数 a 。 2 求解方程，并划出积分曲线图。 作业：P109 1(2)，2. §2.4 singularly solution §2.4 奇 解 /Singularly solution/ 2.4 奇解 包络和奇解 克莱罗方程（Clairant Equation） 本节要求： 1 了解奇解的意义； 2 掌握求奇解的方法。 主要内容 利用通解和特解可以构造解： 从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。 解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件 例1 得通解 由 x y 定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线 一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。 例 单参数曲线族 R是常数，c是参数。 x y o 显然， 是曲线族 的包络。 一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平 行线族等都是没有包络的。 注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族: (其中c为参数)表示一族同心圆. 如图 从图形可见, 此曲线族没有包络. 二、不存在奇解的判别法 假设方程(1.9)的右端函数 在区域 上有定义，如果 在D上连续且 在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的 任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。 有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解。 如果存在唯一性定理条件不是在整个 定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络线L是(1.9)的奇积分曲线。 证明： 应用定理2.1积分曲线与线素场的关系的充要条件 三 求奇解（包络线）的方法 C-判别曲线法 P-判别曲线法 设一阶方程 的通积分为 1 C-判别曲线法 结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组 消去 C 而得到的曲线中。 设由 能确定出曲线为 则 对参数 C 求导数 从而得到恒等式 当 至少有一个不为零时 有 或 这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切。 注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。 例1 求直线族 的包络，这里 是参数，p 是常数。 解： 对参数 求导数 联立 相加，得 ，经检验，其是所求包络线。 x y o p 例2 求直线族 的包络，这里 c 是参数。 解： 对参数 c 求导数 联立 得 从 得到 从 得到 因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易 检验， 是所求包络线。 x y o 2 p-判别曲线 结论：方程 的奇解包含在下列方程组 消去 p 而得到的曲线中。 注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。 例3 求方程 的奇解。 解： 从 消去 p，得到 p-判别曲线 经检验，它们是方程的奇解。 因为易求得原方程的通解为 而 是方程的解，且正好是通解的包络。 例4 求方程 的奇解。 解： 从 消去 p，得到 p-判别曲线 经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解。 注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判 别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。 3 克莱罗方程 形式 其中 是 p 的连续函数。 解法 通解 奇解 结果: Clairaut方程 的通解 是一直线族,