数理统计第0章.ppt

第0章 第 0 章 概率论基础知识 §0.1 随机事件及其概率 §0.2 随机变量及其分布 §0.3 随机变量的数字特征及其分布 1、事件A的概率是对事件A在试验中出现 的可能性大小的一种度量，记作P(A)。 2、概率的计算方法： （1）主观概率：据经验确定概率 （2）古典概率 （1）在事件B已经发生的条件下，求事件 A发生的概率，称这种概率为事件B发生条 件下事件A发生的条件概率，记为 （2）事件的独立性 ＊如果 P(AB)=P(A)·P(B)，则称A与B相互 独立。 例：离散型随机变量的一些例子 （二）常用的离散型随机变量 1、分布函数的定义：随机变量 X ，x是实数， 事件｛X ? x ｝的概率记为F(x)=P {X ? x｝ 称F(x)为随机变量 X 的分布函数。　　 （一）连续型随机变量及其密度函数 1、定义：随机变量X 的分布函数为F(x) 如果存在非负函数f(x)，使得对任何x,有 随机变量X的一切可能取值xi，其取相对应 的概率pi，即P{X =xi}=pi， X的数学期望的 计算公式为 随机变量X的密度函数为f(x)，X的数学期望 的计算公式为 解：X的分布律为 1、Y＝g(X)的数学期望 2、Z＝g(X,Y)的数学期望 X, Y 是随机变量，c 是常数 二、随机变量X的方差 1、每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为D(X) 5、方差的性质 （2）连续型随机变量的数字期望 2、数学期望的意义：数学期望E(X)可以反 映X的集中程度（平均水平）， E(X)也称 均值。 两个级数 例：X服从参数为λ的POSSION分布，求X的数学期望。 （二）随机变量函数的数学期望 （1）先求Y＝g(X)的分布，用定义求E(Y) （2）不求Y＝g(X)的分布，直接求E(Y) （1）先求Z＝g(X,Y)的分布，用定义求E(Z) （2）不求Z＝g(X,Y)的分布，直接求E(Z) （三）数学期望的性质 1、E (c) = c 2、E (cX) = c E (X) 3、E (X+Y) = E (X) + E (Y) 4、如果X与Y相互独立 ，则 　E (XY) = E (X) E (Y) 2、方差D(X)的计算 3、方差D(X)的计算公式 （1）D (c) = 0 （2）D (cX) =c2 D(X) （3）D(X+c) = D (X) （4）如果X与Y相互独立 ，则 　D (X＋Y) = D (X) ＋D(Y) 4、方差的意义： D(X)是X与其平均数的偏差的期望，即为X与其平均数的平均偏差，反映X的稳定性（离中程度） X, Y 是随机变量，c 是常数 三、常用分布的数字特征 1、0－1分布 （1）分布律　 （2）E (X) = 0×P{X=0}+1×P{X=1}=p D (X) =E(X2)－ (EX)2 故　E (X) =p D(X) =p(1-p) E(X2) = 02×P{X=0}+12×P{X=1}=p （1）分布律　 （2）E (X) = np， D (X) = np(1-p) （2）　E (X) =λ D(X) =λ 3、POSSION分布 2、二项分布　 （1）分布律 （1）密度函数 4、均匀分布 （1）密度函数 5、指数分布 （1）密度函数 6、正态分布 例：设 n 个独立的正态分布 X1, X2, … Xn 记 证明： 证： n 个独立的正态分布 X1, X2, … Xn的线性 组合还是正态分布，故　是正态分布.而 故 即有 故 利用 故 即 注意： 结 束 As a result of this class, you will be able to ... As a result of this class, you will be able to ... As a result of this class, you will be able to ... * * 主讲人：数学与信息科学学院 李春红 统计学 §0.1 随机事件及其概率 一、随机事件及事件的概率 （一）事件 1、事件的定义：人们关注的事情称为事件，一 般用大写字母A，B，C 表示。例如 　A＝“ 灯管的寿命超过1400小时” 2、事件的关系、运算 ? 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或 A ? B或 B ? A ? 事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B 的和。记为A∪B或A+B ? 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的积，记为B∩A 或AB ? 事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B