方向和梯度1.ppt

第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 * 一、方向导数 二、梯度 1．方向导数的定义 定义 注 10 对于三元函数 2．方向导数存在的充分条件及计算法 对于三元函数 注 故 证 两边同除以 得到 由于函数　　　　　在点　　　　可微，所以 解 解 令 则 的方向余弦为 故 1．梯度的定义 对于三元函数 规定： 注 2．梯度与方向导数的关系 （2）若 则 （1） 注 10 梯度的方向是函数在该点处的方向导数取最大值的 　方向，也即函数增长最快的方向；梯度的反方向是 　函数在该点处的方向导数取最小值的方向，也即函 　数减少最快的方向． 20 梯度方向的方向导数等于梯度的模． 30与梯度垂直方向的方向导数等于零． 解 (1) (2)　令 则 （3） 例4　设函数 (1) 求　　　　在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数; (2) 求　　　　在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线 　　方向的夹角 ? . 解 （1） * 定理　如果函数在点可微分，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有 ， 其中为方向的方向余弦． 例1 求函数在点处沿从点到点 的方向的方向导数. 所求方向导数为 例2 设是曲面 在点处的指向外侧的法向量，求函数在点P处沿方向的方向导数. 定义 设函数在点处具有一阶连续偏导数，则称向量为函数在点处的梯度，记为，即 . 例3 设 ，求： （1）在点处的梯度； （2）在点处沿该点梯度方向的方向导数； （3）在点处的最大方向导数． 讨论函数在点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ 设函数在点的某一邻域内有定义，，, ,若极限 存在，则称此极限为设函数在点处沿方向的方向导数，记为或,即 20 函数在点处沿方向的方向导数就是 函数在点处沿方向的变化率． 的方向余弦为 其中为与的夹角． 在点处的最大方向导数为 ． 故偏导数不存在. 在点处沿任意方向的方向导数为 故在点处沿任意方向的方向导数均存在． 同理，偏导数也不存在. 30 当时, , 且当时, ; 当时, , 且当时, .