期末复习：圆锥曲线与方程.doc

【本讲教育信息】 一. 教学内容： ?????? 期末复习：圆锥曲线与方程 ? ［学习目标］ 圆锥曲线将几何与代数进行了结合，高考中是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有。重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质，重视求曲线的方程或曲线的轨迹，加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的探究。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决，这样加强了对数学各种能力的考查，重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程。 ? ［考点分析］ 1、知识框图： 2、知识归纳： 名 称 椭圆 双曲线 ? 图 象 ? ? ? 定 义 ? ? ? 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 ? 当2﹥2时，轨迹是椭圆， ? 当2＝2时，轨迹是一条线段 ? 当2﹤2时，轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即 当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2＝2时，轨迹是两条射线 当2﹥2时，轨迹不存在 标准方 程 焦点在轴上时： ?? 焦点在轴上时： 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时：? 焦点在轴上时： 常数的关 系?? ? ，， ? 最大， ， 最大，可以 渐近线 ? 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 抛物线： 图形 方程 焦点 准线 3、椭圆的性质：由椭圆方程 ??? （1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。 ??? （2）对称性：图象关于y轴对称，图象关于x轴对称。图象关于原点对称。 ??? （3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 ??? 椭圆共有四个顶点：，。 叫椭圆的长轴，长为2 a，叫椭圆的短轴，长为2b。 ??? （4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。。（） ??? （5）椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 ??? （6）椭圆的准线方程 ??? 对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线 焦点到准线的距离（焦参数） 4、双曲线的几何性质： ??? （1）顶点 ??? 顶点：，特殊点： ??? 实轴：长为2a，a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。 ??? 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。 ??? （2）渐近线 ??? 双曲线的渐近线（） ??? （3）离心率 ??? 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：e1 ??? （4）等轴双曲线 ? ??定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 ??? 等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：； b、渐近线互相垂直； c、离心率。 ??? （5）共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程写成。 ??? （6）共轭双曲线 ??? 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。 ??? （7）双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。 ??? （8）双曲线的准线方程： ??? 对于来说，左准线，右准线； ??? 对于来说，下准线；上准线。 ??? 焦点到准线的距离（也叫焦参数）。 5、抛物线的几何性质 ??? （1）顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。 ??? （2）离心率： 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。 ? 【典型例题】 例1、已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并说明轨迹是什么图形。 解：设点M（x，y）是曲线上的任意一点，由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为。 将上式两边平方，得 化简得x2＋y2＋2x－3=0， 这就是所求的曲线方程. 把x2＋y2＋2x－3=0的左边配方，得（x＋1）2＋y2=4. 所以此轨迹是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆。 ? 例2、已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，一条渐近线方程为，且过点（4，）。 （1）求双曲线方程； （2）若点M（3，）在此双曲线上，求； （3）求的面积。 解： （1）由题意知，双曲线的方程是标准方程 ∵ 双曲线的一条渐近线方程为?? ∴ 设双曲线方程为 把点（4，）代入双曲线方程得， ∴ 所求双曲线方程为 （2）由（1）知双曲线方程为 ∴ 双曲线的焦点为、?? ∵ M点在双曲线上 ∴ ， ∴ ??????????