李春发-数据包络-DEA.ppt

二、举例 * 数据包络分析 Data Envelopment Analysis DEA 2011年上学期 天津理工大学管理学院 李 春 发 数据包络分析(Data Envelopment Analysis, DEA)是运筹学、管理科学和数理经济学交叉研究的一个新的领域。它由Charnes和Cooper等于1978年开始创建的. DEA是使用数学规划模型评价同类型组织工作绩效具有多个输入和多个输出的“部门”或“单位”间相对有效的工具。 如: 学校、医院、银行的分支机构、超市的各营业部等，各自具有相同的投入和相同的产出. 衡量这类组织之间的绩效高低, 通常采用投入产出比这个指标,当各自的投入和产出均可折算成同一单位,则可以进行绩效排序. 但当被衡量的同类组织有多项投入和多项产出, 且不能折算成统一单位时, 就无法算出投入产出比的数值. 一、数据包络分析基本情况 有四所学校按800名学生的规模折算的各校教师人数和建筑面积的投入, 如下表: 2500 1700 1500 1800 建筑面积 20 35 40 25 教师人数 s4 s3 s2 s1 　　　学校 投入 5 500 生产可行集 2000 s4 s1 s2 教师人数 建筑面积 生产前沿面 s3 (35,1700) P 就培养800名学生来看, s1, s2, s4三所学校的投入处于Pareto最优状态, 即不可能保持其中一项投入不变的情况下, 减少另一项投入的水平. 由s1, s2, s4三点连成的折线称为生产前沿面(production frontier boundary), 凡前沿面的点的投入状态均处于Pareto最优.例如点s1和点s4的连线的中间点M, 其坐标值为 即用22.5名教职工和2125m2的建筑面积可组成培养800名学生的学校，并且不可能做到减少其中一项投入的情况下而不增加另一项投入。 从s4点作垂线向上延伸, 从s2点作水平线向右延伸(见图), 则位于由虚线和折线包围的右上方的点组成生产可行集, 即按这个集合中的点坐标数字的教职工和建筑面积的投入, 按已列出的学校的绩效水平, 均能办成一个800名学生规划的学校。 5 500 生产可行集 2000 s4 s1 s2 教师人数 建筑面积 生产前沿面 s3 (35,1700) P 所谓生产前沿面是生产可行集一条数据包络线，它是在现有绩效水平下举办800名学生规模学校，需要投入教师数和建筑面积的最低极限。称处于前沿面上的点有DEA有效. 学校s3并非DEA有效. 如从s3作一条垂线,交s1s2于点(35, 1600); 通过s3作一条水平线, 交s1s2于点(30, 1700). 这说明若保持35名教师人数不变,则只需要1600m2建筑面积, 或保持1700m2面积不变, 则只需要教师30人, 就可以举办一个800名学生的学校. 若从原点o作同s3的连线, 交s1s2于点P(33.45, 1629.2). 对比P点同s3点的投入有33.54/35=1629.2/1700=0.958. 表明s3的绩效只相当于s1或s2的95.8%. 　上面用作图方法衡量一个组织是否DEA有效, 只适用于投入与产出变量数总和不超过3个的情况, 当变量数超过3个时, 就需要借助线性规划方法. 基本模型 在DEA中通常被衡量绩效的组织为决策单元(Decision Making Unit, 缩写DMU). 设有n个决策单元(j=1,2,…,n), 每个决策单元有相同的m项投入(i=1,2,…,m)和相同的s项产出(r=1,2,…,s). xmn … xm2 xm1 m … xij … … x2n … x22 x21 2 x1n … x12 x11 1 n …j 2 1 xij表示第j决策单元的第i项投入 投 入 …i 决 策 单 元 ysn … ys2 ys1 s … yij … … y2n … y22 y21 2 y1n … y12 y11 1 n …j 2 1 决 策 单 元 产 出 yij表示第j决策单元的第i项产出 …i 假想该决策单元的第r项产出为 现要衡量一个决策单元j0是否DEA有效, 即是否处于由包络线组成的生产前沿面上, 为此先构造一个由n个决策单元线性(凸)组合成的假想决策单元. 这个假想决策单元的第i项投入为 若这个假想单元的各项产出均不低于j0决策单元的各项产出, 它的各项投入均低于j0决策单元的各项投入, 即有 这说明j0决策单元不处于生产前沿面上. 基于上述可写出如下的LP的数学模型. 当求解结果E1时, 则j0决策单元非DEA有效, 否则j0决策单元有效.