构造数列在通项公式求解中的运用.doc

构造数列在通项公式求解中的运用 安徽省庐江中学（231500） 王能华 数列问题是现在高考的必考内容，它可以与函数、不等式等知识综合在一起出题，综合性一般比较强，正是这样的原因，导致数列解答题在高考中得分率不高。在课本上《数列》这一章中主要学习了两类重要的数列——等差数列、等比数列的相关知识，但高考试卷的解答题中单纯考这两类数列的问题并不多，给出的数列本身一般既不是等差数列也不是等比数列，要求解决的问题形式一般是证明不等式或是求和，要解好这类问题一般都要经过先求出其通项公式后才可进一步求解，解决这类问题的主要思路还是数学中常用的“化归”思想，也就是将不熟悉的数列问题转化为熟悉等差或等比数列问题，也就是构造一个与所给数列相关的等比或等差数列，先求出构造数列通项公式再进一步求出所要求的数列通项公式。本文将从易到难介绍几个构造数列方法在数列通项公式求解中的运用。 一、型数列通项公式的求法。这是一类最简单构造数列问题，因为常数分别不为，导致了数列本身不是等差数列，也不是等比数列，对于此类问题的求解，通常是利用待定系数法构造一个与相关的等比数列，先求出的通项公式再进一步求出的通项公式。 例1：已知数列满中：，求． 解：∵，设，化简变形可得： ，将此式与已知等式比较系数可得： ∴ 从而数列是一个以为首项，为公比的等比数列， ∴ 二、型数列通项公式的求法。这类问题可用类似于（一）中方法进行求解，只要将（一）中的系数变成与相关的一次表达式即可。 例2：已知数列满足，，求． 解：∵ ，设，将其展开移项变 作者简介：王能华（1973-），男，安徽庐江人，硕士研究生学历，多年从事高中数学教育。电子信箱：wnhwsh@，联系电话形可化为：，将此式与已知条件等式比较系数可得：，解得：，从而数列是一个以为首项，为公比的等比数列， ∴ 三、型数列通项公式的求法。这类数列问题与（一）、（二）两类相比较，略显复杂一点，但仍然可以沿用上述两类问题的解题思路通过构造一个与数列相关的等比数列来进一步求出的通项公式。下面还是通过一个具体的例子来说明这类问题的求解。 例3：已知数列中，，，求．（2010年全国Ⅰ卷，理科第21题第（Ⅰ）改编） 解：∵，∴设 ⑴ 将此式展开、移项变形可得： ⑵ 将⑵式与系数对比可得：，解得：． 在这里选择（另一种情况完全类似可求出同样结果）代入⑴式： 运用（一）的构造方法易得：，∴是以为公比，为首项的等比数列，∴ ，则．