概率论多维随机变量2.ppt

二维随机变量及其分布 条件分布与随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布 * 第三章 多维随机变量及其分布 概率论与数理统计 第三章、多维随机变量 从本讲起，我们开始第三章的学习. 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 它是第二章内容的推广. 概率论与数理统计 第三章、多维随机变量 变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维 设X,Y是定义在同一个样本空间 上的随机 随机变量。 §3.1 二维随机变量的分布 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性 随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布 质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此 必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维 函数的概念. 一、二维随机变量及其联合分布 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 定义1 设(X，Y)为二维随机变量, 对于任意x， 称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合 y，二元函数 分布函数. [注] 1)联合分布函数 的概率意义： 图1 落在以 为顶点的左 下方的无穷矩形的概率. 是随机点 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 2)设 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质： （2） F(x,y)关于x与y是单调不减函数.即，固定y, 固定x, （3） 固定x,有 固定y,有 （4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续. 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 例1 已知二元函数 问此F(x,y)是否是某个二维随机变量(X,Y)的分 布函数?3-1例题\3-1例1.ppt 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 二、离散型随机变量的联合分布律 定义2 如果二维随机变量的每一个分量X和Y 为随机变量（X，Y）的联合概率分布。 型随机变量。若 (X，Y)的所有可能值为 都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 离散型随机变量的联合分布 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 二维随机变量（X,Y） 联合分布 离散型 i, j =1,2, … X和Y 的联合概率分布 k=1,2, … 离散型 一维随机变量X k=1,2, … X的概率分布 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球， 试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量： 联合分布。 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 离散型二维随机变量联合概率分布确定方法: 3. 列出联合概率分布表. 值对的概率; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所有取值数对; 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 求(X1, X2)的联合概率分布。 例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)， 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 在1,2,3,4四个整数中等可能地取 在 中等可能地取 例4 设随机变量 一个值, 另一个随机变量 一整数值, 试求 的分布律. 三、连续型随机变量的联合密度函数 定义3 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数 ，如果存在一个非负可积函数f (x, y) 使得对于 称(X,Y)是一个二维连续型随机变量，称 f(x,y)为连续型二维随机变量(X,Y)的联合密 度函数，记作(X，Y)～f (x , y). [注] ① f (x, y)的基本性质： 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 ② ③ 若(X，Y)～f (x, y) ④ D是平面上的一个区域，则随机点(X,Y)落在 区域D上的概率记作: 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 ⑤ 连续型二维随机变量(X，Y)的联合分布函数 的概率意义是：以曲面f (x, y)为顶面，以(x, y) 为顶点的无穷矩形区域为底面的曲顶柱体的体积。 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 例5 设随机变量（X，Y）的联合密度函数为： 试求：(1)常数A； 其中D是如图1的阴影部分； （3）(X,Y)的联合分布函数F (x, y). 概率论与数理统计 §3.1 二维随机变量及其分布 例6 设随机变量(X，Y)的联合密度函数为： 其中a b, c d, 求常数A。 这就是二维均匀分布。 由此可将二维均匀分布推广： 其中S(D)是平面上一个可以度量