步步高大一轮复习讲义1.2命题及充分条件必要条件.doc

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题．其中______________的语句叫真命题，____________的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 否命题 逆否命题 (2)四种命题间的逆否关系 (3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性____________． 3．充分条件与必要条件 (1)如果pq，则p是q的______________，q是p的______________； (2)如果pq，qp，则p是q的______________． [难点正本　疑点清源] 1．用集合的观点，看充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有： (1)若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件； (2)若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”． 1．(课本改编题)给出命题：“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是______． 2．(课本改编题)下列命题中所有真命题的序号是________． ①“ab”是“a2b2”的充分条件； ②“|a||b|”是“a2b2”的必要条件； ③“ab”是“a＋cb＋c”的充要条件． 3．(课本改编题)“x2”是“”的________条件． 4．(2011·天津)设集合A＝{x∈R|x－20}，B＝{x∈R|x0}，C＝{x∈R|x(x－2)0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知α，β的终边在第一象限，则“αβ”是“sin αsin β”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型一　四种命题的关系及真假判断 例1　以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log2a0，则函数f(x)＝logax (a0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则bM”与命题“若b∈M，则aM”等价． 探究提高　(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例． 有下列四个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题的序号为________． 题型二　充分、必要、充要条件的概念与判断 例2　指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0， q：(x－1)(y－2)＝0. 探究提高　判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题． 给出下列命题： ①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则A＝30°