步步高大一轮复习讲义数学2.3函数的单调性与极值.doc

§2.3　函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 当x1x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 图像描述 自左向右看图像是________ 自左向右看图像是________ (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是________或________，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件 (1)对于任意x∈I，都有________； (2)存在x0∈I，使得________ (3)对于任意x∈I，都有________； (4)存在x0∈I，使得________ 结论 M为最大值 M为最小值 [难点正本　疑点清源] 1．函数的单调性是局部性质 函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调． 2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 3．单调区间的表示 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 1．(课本改编题)f(x)＝x2－2x (x∈[－2,4])的单调增区间为__________；f(x)max＝________. 2．(课本改编题)函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是________________． 3．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)、B(－3,2)在其图像上，则不等式－2f(x)2的解集为_________________________________________________________________． 4．下列函数f(x)中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是(　　) A．f(x)＝　　　　　　B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝e2 D．f(x)＝ln(x＋1) 5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 题型一　函数单调性的判断及应用 例1　已知函数f(x)＝－ax，其中a0. (1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值； (2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数； (3)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求a的取值范围． 探究提高　(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是：取值—作差—变形—确定符号—下结论． (2)利用导数证明的一般步骤：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论．导数法是比较常用的一种方法． 已知f(x)＝ (x≠a)． (1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内是递增的； (2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内是递减的，求a的取值范围． 题型二　求函数的单调区间 例2　求函数y＝(x2－3x＋2)的单调区间． 探究提高　求函数的单调区间与确定单调性的方法一致． (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． (5)本题的易错点是忽视函数的定义域． 求函数y＝的单调区间． 题型三　抽象函数的单调性及最值 例3　已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． 探究提高　对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·或x1＝x2＋x1－x