步步高大一轮复习讲义数学幂函数.doc

§2.6　幂函数 1．幂函数的概念 一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像与性质 由幂函数y＝x、y＝、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图像，可归纳出幂函数的如下性质： (1)幂函数在________上都有定义； (2)幂函数的图像都过点__________； (3)当α0时，幂函数的图像都过点________与________，且在(0，＋∞)上是__________； (4)当α0时，幂函数的图像都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上是__________． 3．五种幂函数的比较 (1)幂函数的图像比较 (2)幂函数的性质比较 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 值域 奇偶性 单调性 [难点正本　疑点清源] 1．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴． 2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． 1．(课本改编题)当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第________象限． 2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________. 3．(课本改编题)下列函数是幂函数的序号是________． ①y＝2x　②y＝2x－1　③y＝(x＋2)2 ④y＝　⑤y＝ 4．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点，则f(4)的值等于(　　)A．16 B. C．2 D. 题型一　幂函数的定义及应用 例1　已知y＝(m2＋2m－2)·＋(2n－3)是幂函数，求m、n的值． 探究提高　(1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1. (2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征． 已知f(x)＝(m2＋2m)，m为何值时，f(x)是： (1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 题型二　幂函数的图像及性质的简单应用 例2　已知幂函数f(x)的图像过点(，2)，幂函数g(x)的图像过点. (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x为何值时，①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)． 　探究提高　求幂函数解析式的步骤： (1)设出幂函数的一般形式y＝xα (α为常数)； (2)根据已知条件求出α的值； (3)写出幂函数的解析式． 已知幂函数y＝(m∈Z)的图像与y轴有公共点，且其图像关于y轴对称，求m的值，并作出其图像． 题型三　利用幂函数的性质比较幂值的大小 例3　比较下列各组数的大小： (1)和；(2)和； (3)0.20.5和0.40.3. 探究提高　在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题关键． 比较下列各组数的大小： (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)，； (4)，和. 题型四　幂函数的综合应用 例4　已知幂函数f(x)＝(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－的a的取值范围． 探究提高　本题集幂函数的概念、图像及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图像对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图像求出参数a的取值范围． 已知幂函数f(x)＝(m∈N*)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围． 3.利用转化思想求参数范围 试题：(12分)若函数f(x)＝＋(x2－mx＋1)0的定义域为R，求实数m的取值范围． 审题视角　(1)从幂函数的视角看，幂指数为－.f(x)的定义域为R，转化为mx2＋4x＋m＋20恒成立，且x2－mx＋1≠0.(2)mx2＋4x＋m＋20恒成立转化为y＝mx2＋4x＋m＋2开口向上，且与x轴无交点． 规范解答 解　设g(x)＝mx2＋4x＋m＋2，① h(x)＝x2－mx＋1，② 原题可转化为对一切x∈R有g(x)0且h(x)≠0恒成立． 由①得[3分] 即 ∴m－1＋.[6分] 由②得Δ2＝(－m)2－40，即－2m2.[10分] 综上可得－1m2.[12分] 批阅笔记　(1)有关幂函数y＝xα的定