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王媛原
中考数学中的动态几何问题解法浅析
动态几何问题,是以几何知识和具体的几何图形为背景,渗透运动变化的观点,通过点、线、形的运动,图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中,要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学生分析问题的能力,对图形的想象能力,动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。因此,在中考中频频出现,占有相当大的比重。
解决这类问题时,要求对几何元素的运动过程有一个完整、清晰的认识,用运动与变化的眼光去观察和研究图形,借助动态思维的观点来分析,不被“动”所迷惑,从特殊情形入手,变中求不变,动中求静,抓住静的瞬间,以静制动,把动态问题转化为静态的问题来解决,从而找到问题的突破口。解答时往往需要综合运用转化思想、数形结合思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学。
解决好动态几何问题要做到以下几点:
审清题意,明确研究对象;
明确运动过程,抓住关键时刻点;
能够用含有自变量的代数式表示所需线段长;
将几何问题转化成代数形式,即从图形的位置关系转化成线段的数量关系;
树立分类讨论的意识,多方面,多角度考虑问题。
下面从动态几何问题常见的几种情况具体谈谈这类问题的解法:
动点问题
例1(2009河北)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C?时,请直接写出t的值.
解:(1)1,;
(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴.
由△AQF∽△ABC,,
得.∴.
∴,
即.
(3)能.
①当DE∥QB时,如图4.
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.
此时∠AQP=90°.
由△APQ?∽△ABC,得,
即. 解得.
②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ =90°.
由△AQP?∽△ABC,得 ,
即. 解得.
(4)或.
【注:①点P由C向A运动,DE经过点C.
连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.
,.
由,得,解得.
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.
,】
P从点C出发沿C运动,到达点A后立刻沿AC返回(1)①DE∥QB,②PQ∥BC,存在直角梯形的关键是是否存在线平行,转化为△APQ?与△ABC的相似关系,最后根据线段成比例求t值。
例2(2010河北)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD?=?6,BC?=?8,,点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止.
设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围).
(2)当BP?=?1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.
(3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被△EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
.解:(1)y?=?2t;(2)当BP?=?1时,有两种情形:
①如图6,若点P从点M向点B运动,有 MB =?= 4,MP?=?MQ =?3,
∴PQ?=?6.连接EM,
∵△EPQ是等边三角形,∴EM⊥PQ.∴.
∵AB?=?,∴点E在AD上.
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ,其面
积为.
②若点P从点B向点M运动,由题意得 .
PQ?=?BM?+?MQBP?=?8,PC?=?7.设PE与AD交于点F,QE与AD或AD的
延长线交于点G,过点P作PH⊥AD于点H,则
HP?=?,AH?=?1.在Rt△HPF中,∠HPF?=?30°
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